Originalfunktion gesucht < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Mi 07.01.2009 | | Autor: | crashby |
| Aufgabe | $ [mm] F(s)=\frac{e^{3s}s}{s^2+a^2} [/mm] $
Bestimme die Orginalfkt durch Anwendung geeigneter Sätze über Laplace-Trafo |
Hey,
nächstes Problem ;)
$ [mm] F(s)=\frac{e^{3s}s}{s^2+a^2}=e^{3s}\cdot \frac{s}{s^2+a^2} [/mm] $
wie gehts weiter ?
greetz
|
|
| |
|
Hallo crashby,
> [mm]F(s)=\frac{e^{3s}s}{s^2+a^2}[/mm]
>
> Bestimme die Orginalfkt durch Anwendung geeigneter Sätze
> über Laplace-Trafo
> Hey,
>
> nächstes Problem ;)
>
> [mm]F(s)=\frac{e^{3s}s}{s^2+a^2}=e^{3s}\cdot \frac{s}{s^2+a^2}[/mm]
>
> wie gehts weiter ?
Nach Faltungssatz gilt offenbar:
[mm]L^{-1}\left[e^{3s}*\bruch{s}{s^{2}+a^{2}}\right]= L^{-1}\left[e^{3s}\right]*L^{-1}\left[\bruch{s}{s^{2}+a^{2}}\right][/mm]
Das Problem ist jetzt wohl die Orginalfunktion zu [mm]e^{3s}[/mm] zu finden.
Verwende hier die bekannte Reihenentwickung der Exponentialfunktion.
>
> greetz
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mi 07.01.2009 | | Autor: | crashby |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hey Mathepower,
danke erstmal
$ L^{-1}\left[e^{3s}\right] $ hier würde ich nun den Dämpfungssatz nehmen
aber was nehme ich hier:
$ L^{-1}\left[\bruch{s}{s^{2}+a^{2}} $ es wäre ja eigentlich mit einer tabelle $ \cos(at) $ aber wie bekom ich das mit den verschiedenen Sätzen raus ?
|
|
|
| |
|
Hallo crashby,
> Hey Mathepower,
>
> danke erstmal
>
> [mm]L^{-1}\left[e^{3s}\right][/mm] hier würde ich nun den
> Dämpfungssatz nehmen
>
> aber was nehme ich hier:
>
> [mm]L^{-1}\left[\bruch{s}{s^{2}+a^{2}}[/mm] es wäre ja eigentlich
> mit einer tabelle [mm]\cos(at)[/mm] aber wie bekom ich das mit den
> verschiedenen Sätzen raus ?
>
Nun zerlege
[mm]\bruch{s}{s^{2}+a^{2}}=\bruch{A}{s-ia}+\bruch{B}{s+ia}}[/mm]
Dann kannst Du auch hier den Dämpfungssatz anwenden.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Do 08.01.2009 | | Autor: | crashby |
Hey,
> [mm]\bruch{s}{s^{2}+a^{2}}=\bruch{A}{s-ia}+\bruch{B}{s+ia}}[/mm]
>
mit PBZ:
$ [mm] \bruch{s}{s^{2}+a^{2}}=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{s-ia}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s+ia}$
[/mm]
Insagesamt haben wir dann erstmal:
$ [mm] F(s)=e^{3s}\cdot \left( \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{s-ia}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s+ia}\right) [/mm] $
$ = [mm] \frac{3}{2} e^{3s}\frac{1}{s-ia}-\frac{1}{2} e^{3s} \frac{1}{s+ia} [/mm] $
bis hier ok ?
cya
|
|
|
| |
|
Hallo crashby,
> Hey,
>
>
> > [mm]\bruch{s}{s^{2}+a^{2}}=\bruch{A}{s-ia}+\bruch{B}{s+ia}}[/mm]
> >
>
>
> mit PBZ:
>
> [mm]\bruch{s}{s^{2}+a^{2}}=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{s-ia}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s+ia}[/mm]
Das muß hier so lauten:
[mm]\bruch{s}{s^{2}+a^{2}}=\frac{\red{1}}{2}\cdot \frac{1}{s-ia}\red{+}\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s+ia}[/mm]
>
> Insagesamt haben wir dann erstmal:
>
> [mm]F(s)=e^{3s}\cdot \left( \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{s-ia}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s+ia}\right)[/mm]
>
> [mm]= \frac{3}{2} e^{3s}\frac{1}{s-ia}-\frac{1}{2} e^{3s} \frac{1}{s+ia}[/mm]
>
> bis hier ok ?
>
> cya
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Do 08.01.2009 | | Autor: | crashby |
Hey,
danke blödes [mm] i^2 [/mm] ;)
wie siehst du das immer so schnell,benutzt du ein CAS ?
cya
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Do 08.01.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo crashby,
> Hey,
>
> danke blödes [mm]i^2[/mm] ;)
>
> wie siehst du das immer so schnell,benutzt du ein CAS ?
Ich hab diese PBZ auch mal durchgerechnet.
>
> cya
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Do 08.01.2009 | | Autor: | crashby |
okay,
$ F(s)= [mm] \frac{1}{2} e^{3s}\frac{1}{s-ia}+\frac{1}{2} e^{3s} \frac{1}{s+ia} [/mm] $
[mm] $e^{3s}=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s-ia}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s+ia} \right) [/mm] $
Es gilt:
$ [mm] \frac{1}{s-ia}= L[e^{t(ai)}](s) [/mm] $ und [mm] $\frac{1}{s+ia}= L[e^{-t(ai)}](s) [/mm] $
im Tutorium hatten wir eine ähnlich Aufgabe und da haben wir den Verschiebungssatz genommen.
und dann wissen wir ja auch noch das :
$ [mm] L[e^{t*(bi)}] [/mm] = 1/(s-(bi)) = [mm] (s+ib)/(s^2+b^2) [/mm] , b reell, Re(s)>|Im b| $
$ L[cos(bt)]= [mm] s/(s^2+b^2) [/mm] $
$ L[sin(bt)]= [mm] b/(s^2+b^2) [/mm] $
mit dem Verschiebungssatz komme ich auf
$ [mm] F(s)=\frac{1}{2} L[u_3(t)\left( e^{ai(t-3)}+e^{-ia(t-3)}\right)](s) [/mm] $
da ich keine Tabelle nutzen soll würde ich das so stehen lassen?
Danke für die wunderbare Hilfe
|
|
|
| |
|
Hallo crashby,
> okay,
>
> [mm]F(s)= \frac{1}{2} e^{3s}\frac{1}{s-ia}+\frac{1}{2} e^{3s} \frac{1}{s+ia}[/mm]
>
> [mm]e^{3s}=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s-ia}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s+ia} \right)[/mm]
>
> Es gilt:
>
> [mm]\frac{1}{s-ia}= L[e^{t(ai)}](s)[/mm] und [mm]\frac{1}{s+ia}= L[e^{-t(ai)}](s)[/mm]
>
> im Tutorium hatten wir eine ähnlich Aufgabe und da haben
> wir den Verschiebungssatz genommen.
>
> und dann wissen wir ja auch noch das :
> [mm]L[e^{t*(bi)}] = 1/(s-(bi)) = (s+ib)/(s^2+b^2) , b reell, Re(s)>|Im b|[/mm]
>
> [mm]L[cos(bt)]= s/(s^2+b^2)[/mm]
>
> [mm]L[sin(bt)]= b/(s^2+b^2)[/mm]
>
> mit dem Verschiebungssatz komme ich auf
>
> [mm]F(s)=\frac{1}{2} L[u_3(t)\left( e^{ai(t-3)}+e^{-ia(t-3)}\right)](s)[/mm]
Mit dem Verschiebungssatz kann ich im Moment nichts anfangen.
>
> da ich keine Tabelle nutzen soll würde ich das so stehen
> lassen?
Jo, kannst Du.
Gesucht ist aber die Funktion im Zeitbereich,
deshalb kannst Du noch ein [mm]L^{-1}[/mm] auf beiden Seiten anwenden.
>
> Danke für die wunderbare Hilfe
>
Gruß
MathePower
|
|
|
|
