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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:58 Sa 30.09.2017 | | Autor: | James90 |
Hallo, ich habe Probleme beim Lösen der Aufgabe und würde mich über Tipps sehr freuen!
Sei [mm] A\in\IR^{n,n} [/mm] schiefsymmetrisch.
Zeige, dass
i) [mm] $Ax\perp [/mm] x$ für alle [mm] x\in\IR^3 [/mm] bzgl. des Standardskalarprodukts
ii) [mm] $I_n+A$ [/mm] und [mm] $I_n-A$ [/mm] sind invertierbar
zu i)
A ist schiefsymmetrisch, also gilt [mm] A=-A^T
[/mm]
Für alle [mm] x\in\IR^n [/mm] gilt [mm] =<-A^T*x,x>==x^T*(-A^T)*x
[/mm]
Nun komme ich leider nicht weiter. Man muss ja zeigen, dass das Null ist, aber das sehe ich nicht.
zu ii)
A ist reell, also sind die Diagonaleinträge der Matrix Null und somit die Eigenwerte alle Null
Damit sind die Diagonaleinträge der Matrizen [mm] $I_n-A$ [/mm] und [mm] $I_n+A$ [/mm] ungleich Null
Hier komme ich leider auch nicht weiter. Bin ich auf dem Holzweg?
Viele Grüße
James
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Sa 30.09.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich habe Probleme beim Lösen der Aufgabe und würde
> mich über Tipps sehr freuen!
>
> Sei [mm]A\in\IR^{n,n}[/mm] schiefsymmetrisch.
>
> Zeige, dass
>
> i) [mm]Ax\perp x[/mm] für alle [mm]x\in\IR^3[/mm] bzgl. des
> Standardskalarprodukts
> ii) [mm]I_n+A[/mm] und [mm]I_n-A[/mm] sind invertierbar
>
> zu i)
> A ist schiefsymmetrisch, also gilt [mm]A=-A^T[/mm]
>
> Für alle [mm]x\in\IR^n[/mm] gilt
> [mm]=<-A^T*x,x>==x^T*(-A^T)*x[/mm]
>
> Nun komme ich leider nicht weiter. Man muss ja zeigen, dass
> das Null ist, aber das sehe ich nicht.
Hast Du schon $<Ax,x>=<x,A^Tx>$ ins Spiel gebracht ? Nein !
>
> zu ii)
> A ist reell, also sind die Diagonaleinträge der Matrix
> Null und somit die Eigenwerte alle Null
> Damit sind die Diagonaleinträge der Matrizen [mm]I_n-A[/mm] und
> [mm]I_n+A[/mm] ungleich Null
>
> Hier komme ich leider auch nicht weiter. Bin ich auf dem
> Holzweg?
>
Ja. Nehmen wir uns mal [mm] I_n-A [/mm] vor: sei x [mm] \in ker(I_n-A), [/mm] also Ax=x. Nun bring a) ins Spiel und Du solltest x=0 bekommen. Damit ist [mm] det(I_n-A) [/mm] ????
Mit [mm] I_n+A [/mm] solltest Du nun selbst klar kommen.
>
> Viele Grüße
> James
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Sa 30.09.2017 | | Autor: | James90 |
Hallo fred97 und vielen Dank für deine Antwort!
> > Hallo, ich habe Probleme beim Lösen der Aufgabe und würde
> > mich über Tipps sehr freuen!
> >
> > Sei [mm]A\in\IR^{n,n}[/mm] schiefsymmetrisch.
> >
> > Zeige, dass
> >
> > i) [mm]Ax\perp x[/mm] für alle [mm]x\in\IR^3[/mm] bzgl. des
> > Standardskalarprodukts
> > ii) [mm]I_n+A[/mm] und [mm]I_n-A[/mm] sind invertierbar
> >
> > zu i)
> > A ist schiefsymmetrisch, also gilt [mm]A=-A^T[/mm]
> >
> > Für alle [mm]x\in\IR^n[/mm] gilt
> > [mm]=<-A^T*x,x>==x^T*(-A^T)*x[/mm]
> >
> > Nun komme ich leider nicht weiter. Man muss ja zeigen, dass
> > das Null ist, aber das sehe ich nicht.
>
> Hast Du schon [mm]=[/mm] ins Spiel gebracht ? Nein !
Das verstehe ich leider nicht. Wie kommt man darauf?
Dann würde gelten [mm] ==x^T*A^T*x
[/mm]
Also [mm] x^T*(-A^T)*x=x^T*A^T*x
[/mm]
Sorry, wenn ich mich gerade blöd anstelle, aber ich verstehe es wirklich nicht!
> >
> > zu ii)
> > A ist reell, also sind die Diagonaleinträge der Matrix
> > Null und somit die Eigenwerte alle Null
> > Damit sind die Diagonaleinträge der Matrizen [mm]I_n-A[/mm] und
> > [mm]I_n+A[/mm] ungleich Null
> >
> > Hier komme ich leider auch nicht weiter. Bin ich auf dem
> > Holzweg?
> >
>
> Ja. Nehmen wir uns mal [mm]I_n-A[/mm] vor: sei x [mm]\in ker(I_n-A),[/mm]
> also Ax=x. Nun bring a) ins Spiel und Du solltest x=0
> bekommen. Damit ist [mm]det(I_n-A)[/mm] ????
Ich habe Probleme das formal richtig aufzuschreiben
Sei [mm] $x\in Ker(I_n-A)$, [/mm] d.h. [mm] (I_n-A)(x)=0
[/mm]
Dann gilt [mm] $Ax=I_n*x=x$
[/mm]
Aus a) wissen wir $<Ax,x>=0$
Nach Definition vom Skalarprodukt gilt [mm] $=0\gdw [/mm] x=0$ gilt
Nun zu deiner Frage, was [mm] det(I_n-A) [/mm] ist. 1 ist Eigenwert von A, aber ist es der einzige Eigenwert?
> Mit [mm]I_n+A[/mm] solltest Du nun selbst klar kommen.
>
>
> >
> > Viele Grüße
> > James
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:20 So 01.10.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97 und vielen Dank für deine Antwort!
>
> > > Hallo, ich habe Probleme beim Lösen der Aufgabe und würde
> > > mich über Tipps sehr freuen!
> > >
> > > Sei [mm]A\in\IR^{n,n}[/mm] schiefsymmetrisch.
> > >
> > > Zeige, dass
> > >
> > > i) [mm]Ax\perp x[/mm] für alle [mm]x\in\IR^3[/mm] bzgl. des
> > > Standardskalarprodukts
> > > ii) [mm]I_n+A[/mm] und [mm]I_n-A[/mm] sind invertierbar
> > >
> > > zu i)
> > > A ist schiefsymmetrisch, also gilt [mm]A=-A^T[/mm]
> > >
> > > Für alle [mm]x\in\IR^n[/mm] gilt
> > > [mm]=<-A^T*x,x>==x^T*(-A^T)*x[/mm]
> > >
> > > Nun komme ich leider nicht weiter. Man muss ja zeigen, dass
> > > das Null ist, aber das sehe ich nicht.
> >
> > Hast Du schon [mm]=[/mm] ins Spiel gebracht ? Nein !
>
> Das verstehe ich leider nicht. Wie kommt man darauf?
Eine ganz elementare Eigenschaft einer reellen nxn - Matrix B ist doch
$<Bx,y>=<x,B^Ty>$ für x,y [mm] \in \IR^n
[/mm]
Damit solltest Du für obiges A bekommen; <Ax,x>=0
>
> Dann würde gelten [mm]==x^T*A^T*x[/mm]
> Also [mm]x^T*(-A^T)*x=x^T*A^T*x[/mm]
>
> Sorry, wenn ich mich gerade blöd anstelle, aber ich
> verstehe es wirklich nicht!
>
> > >
> > > zu ii)
> > > A ist reell, also sind die Diagonaleinträge der
> Matrix
> > > Null und somit die Eigenwerte alle Null
> > > Damit sind die Diagonaleinträge der Matrizen [mm]I_n-A[/mm]
> und
> > > [mm]I_n+A[/mm] ungleich Null
> > >
> > > Hier komme ich leider auch nicht weiter. Bin ich auf dem
> > > Holzweg?
> > >
> >
> > Ja. Nehmen wir uns mal [mm]I_n-A[/mm] vor: sei x [mm]\in ker(I_n-A),[/mm]
> > also Ax=x. Nun bring a) ins Spiel und Du solltest x=0
> > bekommen. Damit ist [mm]det(I_n-A)[/mm] ????
>
> Ich habe Probleme das formal richtig aufzuschreiben
>
> Sei [mm]x\in Ker(I_n-A)[/mm], d.h. [mm](I_n-A)(x)=0[/mm]
> Dann gilt [mm]Ax=I_n*x=x[/mm]
> Aus a) wissen wir [mm]=0[/mm]
> Nach Definition vom Skalarprodukt gilt [mm]=0\gdw x=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> gilt
Na, na. Erst noch Ax=x ins Spiel bringen. Dann: x=0.
Das liefert det(I_n-A) } \ne 0.
>
> Nun zu deiner Frage, was [mm]det(I_n-A)[/mm] ist. 1 ist Eigenwert
> von A, aber ist es der einzige Eigenwert?
>
> > Mit [mm]I_n+A[/mm] solltest Du nun selbst klar kommen.
> >
> >
> > >
> > > Viele Grüße
> > > James
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 So 01.10.2017 | | Autor: | fred97 |
Wer hat diese Frage auf "teilweise beantwortet " gestellt ?
Die Frage wurde von mir vollständig beantwortet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:59 Mo 02.10.2017 | | Autor: | Herby |
Hallo Fred,
> Wer hat diese Frage auf "teilweise beantwortet " gestellt
> ?
>
> Die Frage wurde von mir vollständig beantwortet.
Das ist systembedingt. Wenn jemand eine weitere Antwort beginnt, dann aber aus irgendeinem Grund diese nicht beendet (keine Zeit mehr, keine Verbindung mehr, ...), dann setzt die Software nach einer gewissen Zeit den Status "wird z.Zt. bearbeitet, Antwort ..." zurück. Der Default-Wert ist 'halb-beantwortet'.
Viele Grüße
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:12 Mo 02.10.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Wer hat diese Frage auf "teilweise beantwortet " gestellt
> > ?
> >
> > Die Frage wurde von mir vollständig beantwortet.
>
> Das ist systembedingt. Wenn jemand eine weitere Antwort
> beginnt, dann aber aus irgendeinem Grund diese nicht
> beendet (keine Zeit mehr, keine Verbindung mehr, ...), dann
> setzt die Software nach einer gewissen Zeit den Status
> "wird z.Zt. bearbeitet, Antwort ..." zurück. Der
> Default-Wert ist 'halb-beantwortet'.
>
> Viele Grüße
> [Dateianhang nicht öffentlich] Herby
Hallo Herby,
vielen Dank für die Information. Dann ist das aber systembedingt schlecht !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:14 Mo 02.10.2017 | | Autor: | Diophant |
@Mods:
sorry für den Wirbel. Ich wollte reproduzieren, was da passiert ist, weil ich eigentlich dachte, dass man das als antwortender User ohne Moderatorenrechte vermeiden kann. Dem ist aber ganz offensichtlich nicht so, also bitte ich um Entschuldigung und darum, die Frage wieder auf 'beantwortet' zu setzen.
EDIT [@Herby]: Dankeschön.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:50 Mo 02.10.2017 | | Autor: | Herby |
Hallo Diophant,
> @Mods:
>
> sorry für den Wirbel. Ich wollte reproduzieren, was da
> passiert ist, weil ich eigentlich dachte, dass man das als
> antwortender User ohne Moderatorenrechte vermeiden kann.
> Dem ist aber ganz offenischtlich nicht so, also bitte ich
> um Entschuldigung und darum, die Frage wieder auf
> 'beantwortet' zu setzen.
> Gruß, Diophant
gerne ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 Mo 02.10.2017 | | Autor: | DieAcht |
Hallo zusammen!
> sorry für den Wirbel. Ich wollte reproduzieren, was da
> passiert ist, weil ich eigentlich dachte, dass man das als
> antwortender User ohne Moderatorenrechte vermeiden kann.
Das erinnert mich ein wenig an deine letzte Frage hier.
Jedenfalls kann man dieses Problem hier auch als User fast "retten":
Bei einer "nichtbeantworten Antwort" reagiert man mit einer "Antwort" und deklariert diese als "Mitteilung".
Zusätzlich kann man seine Antwort editieren und darauf hinweisen, dass dort Quatsch / Quark / oder ähnliches stand.
Und: Zum Ausprobieren gibt es das Testforum! 
Liebe Grüße
DieAcht
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