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| Aufgabe | Sei char K = 2 und f eine symmetrische id-Bilinearform auf V [mm] (0\not=V [/mm] endlich dimensional). Ferner existiere ein [mm] v\in [/mm] V mit [mm] f(v,v)\not=0.
[/mm]
Man zeige, dass V eine Orthogonalbasis besitzt. |
Ich habe mir bereits Folgendes überlegt:
Ich mach eine Induktion nach dim V.
IA: Für dim V = 1 ist jede Basis Orthogonalbasis.
IV: Für jeden Vektorraum V mit dim V = n und existiert eine Othogonalbasis.
IS: Betrachte dim V = n+1
Nach Voraussetzung existiert v [mm] \in [/mm] V mit [mm] f(v,v)\not= [/mm] 0.
[mm] \Rightarrow [/mm] <v> [mm] \cap ^{\perp} [/mm] = {0}
[mm] \Rightarrow [/mm] <v> regulär
[mm] \Rightarrow [/mm] V = <v> [mm] \perp ^{\perp}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] dim [mm] ^{\perp} [/mm] = n
[mm] \Rightarrow [/mm] nach IV existiert Orthogonalbasis B´ von [mm] ^{\perp} [/mm] und eine Orthogonalbasis B´´ von <v>.
[mm] \Rightarrow [/mm] B = [mm] B´\cup [/mm] B´´ ist Orthogonalbasis von V
Aber irgendwie kommt mir das zu einfach vor....
Ich habe diese Frage in einem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
(Matheplanet)
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> Sei char K = 2 und f eine symmetrische id-Bilinearform auf
> V [mm](0\not=V[/mm] endlich dimensional). Ferner existiere ein [mm]v\in[/mm]
> V mit [mm]f(v,v)\not=0.[/mm]
> Man zeige, dass V eine Orthogonalbasis besitzt.
> Ich habe mir bereits Folgendes überlegt:
>
> Ich mach eine Induktion nach dim V.
>
> IA: Für dim V = 1 ist jede Basis Orthogonalbasis.
>
> IV: Für jeden Vektorraum V mit dim V = n und existiert eine
> Othogonalbasis.
>
> IS: Betrachte dim V = n+1
> Nach Voraussetzung existiert v [mm]\in[/mm] V mit [mm]f(v,v)\not=[/mm] 0.
> [mm]\Rightarrow[/mm] <v> [mm]\cap ^{\perp}[/mm] = {0}
> [mm]\Rightarrow[/mm] <v> regulär
> [mm]\Rightarrow[/mm] V = <v> [mm]\perp ^{\perp}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] dim
> [mm]^{\perp}[/mm] = n
> [mm]\Rightarrow[/mm] nach IV existiert Orthogonalbasis B´ von
> [mm]^{\perp}[/mm] und eine Orthogonalbasis B´´ von <v>.
> [mm]\Rightarrow[/mm] B = [mm]B´\cup[/mm] B´´ ist Orthogonalbasis von V
>
> Aber irgendwie kommt mir das zu einfach vor....
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Was mich sehr stutzig machen und mir graue Haare wachsen lassen würde ist folgendes: in der Voraussetzung steht
> Sei char K = 2,
und Du hast das nirgendwo im Beweis verwendet.
Meist benötigt man solche Voraussetzungen, Ausnahmen bestätigen die Regel.
Noch eine andere Sache vorweg:
> [mm]\Rightarrow[/mm] <v> regulär
Was ist damit gemeint? Was ist ein regulärer Vektorraum? Ich kenne die Bezeichnung nicht.
Nun zu meiner Hauptkritik am Beweis: Du schreibst
> [mm]\Rightarrow[/mm] nach IV existiert Orthogonalbasis B´ von
> [mm]^{\perp}[/mm] und eine Orthogonalbasis B´´ von <v>.
> [mm]\Rightarrow[/mm] B = [mm]B´\cup[/mm] B´´ ist Orthogonalbasis von V
Diesen letzten und wichtigen Schritt kann ich nicht nachvollziehen.
Was zu verschmerzen wäre - aber er stimmt auch nicht:
Es ist [mm] (\vektor{1 \\ 0\\0},\vektor{0 \\ 1\\0}) [/mm] eine ONB von [mm] <\vektor{1 \\ 0\\0},\vektor{0 \\ 1\\0}>, [/mm] und es ist [mm] (\vektor{0 \\ 1\\1}) [/mm] eine ONB von [mm] <\vektor{0 \\ 1\\1}>.
[/mm]
Mitnichten ist aber [mm] (\vektor{1 \\ 0\\0},\vektor{0 \\ 1\\0},\vektor{0 \\ 1\\1}) [/mm] eine ONB von [mm] <\vektor{1 \\ 0\\0},\vektor{0 \\ 1\\0}>\cup <\vektor{0 \\ 1\\1}>\IR^3.
[/mm]
Ich zeige mal in groben Zügen, wie ich den Induktionsschluß angehen würde:
dim V=n+1, [mm] f(v,v)\not=0.
[/mm]
v durch [mm] b_1,...b_n [/mm] zu einer Basis des V ergänzen.
[mm] [/mm] erfüllt die Ind. Voraussetzung, hat also ONB [mm] (a_1,...,a_n).
[/mm]
Und nun würde ich zeigen, daß [mm] b_n [/mm] zu den [mm] a_i [/mm] senkrecht ist.
Hierfür würde ich verwenden, daß [mm] f(a_i,0)=f(a_i,2b_n)=2f(a_i,b_n) [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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