Orthogonalbasis, endl.K-VR < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V ein endlicher K-Vektorraum
a) sei Vein [mm] \IR [/mm] -Vektorraum mit regulärem, symmetrischem Skalarprodukt
Dann [mm] \exists [/mm] eine Orthogonalbasis [mm] B=(v_{1},....,v_{n}) [/mm] mit
[mm] [/mm] = 0 für i [mm] \not= [/mm] j und [mm] \in [/mm] {-1,1}
b) Sei V ein [mm] \IC [/mm] -Vektorraum mit regulärem, symmetrischem Skalarprodukt
[mm] Dann\exists [/mm] eine Orthonormalbasis [mm] B=(v_{1},....,v_{n}) [/mm] mit
[mm] = \begin{cases} 0, & \mbox{für } i \not= j \\ 1, & \mbox{für } i=j \end{cases}
[/mm]
c) Sei V ein [mm] \IC [/mm] -Vektorraum mit regulärem, unitärem [mm] \alphsa [/mm] Skalarprodukt
Dann [mm] \exists [/mm] eine Orthogonalbasis [mm] B=(v_{1},....,v_{n}) [/mm] mit
[mm] [/mm] = 0 für i [mm] \not= [/mm] j und [mm] \in [/mm] {-1,1} |
Beweis:
die Regularität das Skalarproduktes folgert ja [mm] =a_{j}= \alpha a_{j} \not= [/mm] 0
dann wähle ich ein 0 [mm] \not= b_{j} \in [/mm] K
dann ergibt sich für [mm] =b_{j}(\alpha b_{j})a_{j}
[/mm]
dies betrachte ich jetzt für a,b,c
a) da wir ein Skalarprodukt haben ist [mm] \alpha =id_{K} [/mm]
ergibt also [mm] b_{j}^{2}a_{j}, [/mm] dann wähle ich [mm] b_{j}= 1:\wurzel{a_{j}}
[/mm]
und das ist dann =1 bzw =-1 je nachdem ob [mm] a_{j} [/mm] postiv oder negativ
anders erhält man die -1 ja nicht, da [mm] b_{j} [/mm] sonst [mm] \in \IC [/mm] wäre.
b) es gilt wieder [mm] b_{j}^{2}a_{j}, [/mm] hier scheiterts bei mir etwas
ich würde [mm] b_{j} [/mm] wieder genauso wählen wie vorher und dann soll die Symmetrie und der komplexe Körper liefern, dass [mm] b_{j}^{2}a_{j}=1 [/mm] ist.
Mir ist schon klar, dass ich die 1 erhalten kannt aber noch recht unklar wie Symmetrie und [mm] \IC [/mm] genau das bewirken...
Wäre gut wenn mir da jmd weiterhelfen kann :)
c) da wir ein unitäres [mm] \alpha [/mm] Skalarprodukt haben gilt [mm] a_{j}=\overline{a_{j}} [/mm] und es gilt: [mm] b_{j}(\alpha b_{j})a_{j}=b_{j}\overline{b_{j}} a_{j}
[/mm]
dann wähle ich [mm] b_{j}=\pm i:\wurzel{a_{j}} [/mm] um -1 zu erreichen
und [mm] b_{j}=1:\wurzel{a_{j}} [/mm] um 1 zu erreichen
Über Rückmeldung ob ich das alles so machen kann und über eventuelle Hilfe bei b) würde ich mich sehr freuen!
Grüße
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=458208
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Di 31.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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