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Forum "Lineare Abbildungen" - Orthogonale Abbildung
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Orthogonale Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 Di 02.12.2014
Autor: mr-reddot

Aufgabe
Sei V ein endlichdimensionaler [mm] \IR [/mm] -Vektorraum mit Skalarprodukt. Es seien U, W [mm] \subset [/mm] V endlichdimensionale Untervektorräume und Phi  : V [mm] \to [/mm] V eine orthogonale Abbildung mit Phi(U) = W.

Beweisen Sie, dass Phi das orthogonale Komplement von U auf das orthogonale Komplement von W abbildet, d.h. Phi [mm] (U^{\perp}) [/mm] = [mm] (W)^{\perp}. [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Wie lautet der Ansatz der Aufgabe? Ich stehe auf dem Schlauch.

        
Bezug
Orthogonale Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:25 Di 02.12.2014
Autor: fred97

Wir bez. das Skalarprodukt auf V mit $<*,*>$  und , wenn Du gestattest schreibe ich f statt [mm] \phi. [/mm]

f orthogonal bedeutet:


    (*)  <f(u),f(v)>=<u,v>  für alle  u, v [mm] \in [/mm] V.

Ich zeige Dir mal, wie man die Inklusion [mm] $f(U^{\perp}) \subseteq W^{\perp} [/mm] $ zeigt. (Du darfst dann die umgekehrte Inklusion beweisen)

Zu zeigen ist: <f(x),w>=0  für alle x [mm] \in U^{\perp} [/mm] und alle w [mm] \in [/mm] W

Sei also  x [mm] \in U^{\perp} [/mm] und w [mm] \in [/mm] W =f(U). Es gibt also ein u [mm] \in [/mm] U mit f(u)=w.

Damit folgt ,mit (*):

  <f(x),w>=<f(x),f(u)>=<x,u>.

Da x [mm] \in U^{\perp} [/mm] und u [mm] \in [/mm] U , haben wir <x,u>=0, also wie gewünscht:  <f(x),w>=0

FRED

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