Orthogonale Ebene zu Gerade < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:34 So 09.09.2012 | | Autor: | Shumuu |
| Aufgabe | Eine Ebene verläuft senkrecht zum Vektor n (1 , 3 , 4)
und enthält den Punkt Z = (5, 8,10).
Bestimmen Sie die Gleichung dieser Ebene.
Berechnen Sie ferner die fehlende
Koordinate des auf der Ebene gelegenen Punktes B = (2, y=?, 1). |
Ich hab leider lange im Studium krankheitsbedingt gefehlt und hole nun Mathe nach! Daher die Frage, wie komme ich nun auf die Ebene ?
[mm] \overrightarrow{n} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
Z = [mm] \vektor{5 \\ 8 \\ 10}
[/mm]
Nun brauchen wir den Ortsvektor , richtig ?
[mm] \vektor{5-4 \\ 8-3 \\ 10-1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 5 \\ 9}
[/mm]
Womit die Gleichung der Geraden dann wäre
g: [mm] \overrightarrow{r} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 5 \\ 9} [/mm] + [mm] t*\vektor{4\\3\\1}
[/mm]
Senkrecht bedeutet dann das es orthogonal ist, die "Steigung" wäre dann
[mm] -\bruch{1}{\overrightarrow{n}} [/mm] richtig ?
Wenn ja , wie geht es dann weiter ? Wenn es falsch ist, wo ist der denkfehler ?
Lieben Gruß!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 So 09.09.2012 | | Autor: | Shumuu |
Hab es mal in MuPad gezeichnet, also die Gerade und den Punkt, dazu einfach mal eine Gerade erstellt mit der [mm] -\bruch{1}{\overrightarrow{n}}, [/mm] diese "scheint" aber nicht im 90° Winkel zu der Gerade (g) zu stehen ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 So 09.09.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Eine Ebene verläuft senkrecht zum Vektor n (1 , 3 , 4)
> und enthält den Punkt Z = (5, 8,10).
> Bestimmen Sie die Gleichung dieser Ebene.
> Berechnen Sie ferner die fehlende
> Koordinate des auf der Ebene gelegenen Punktes B = (2,
> y=?, 1).
> Ich hab leider lange im Studium krankheitsbedingt gefehlt
> und hole nun Mathe nach! Daher die Frage, wie komme ich nun
> auf die Ebene ?
>
> [mm]\overrightarrow{n}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\
3 \\
1}[/mm]
Das ist der Normalenvektor.
> Z = [mm]\vektor{5 \\
8 \\
10}[/mm]
Da du den Punkt gegeben hast, kannst du direkt die Normalenform der Ebene aufstellen, hier:
[mm] $E:\left[\vec{x}-\vec{z}\right]\cdot\vec{n}$
[/mm]
konkret dann:
[mm] $E:\left[\vektor{x\\y\\z}-\vektor{5\\8\\10}\right]\cdot\vektor{1\\3\\4}
[/mm]
$
>
> Nun brauchen wir den Ortsvektor , richtig ?
> [mm]\vektor{5-4 \\
8-3 \\
10-1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
5 \\
9}[/mm]
>
> Womit die Gleichung der Geraden dann wäre
> g: [mm]\overrightarrow{r}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
5 \\
9}[/mm] +
> [mm]t*\vektor{4\\
3\\
1}[/mm]
>
> Senkrecht bedeutet dann das es orthogonal ist, die
> "Steigung" wäre dann
> [mm]-\bruch{1}{\overrightarrow{n}}[/mm] richtig ?
Das gilt nur für Steigungen im [mm] IR^{2}. [/mm] Ausserdem kannst du eine zahl nicht durch einen Vektor dividieren, [mm] \frac{1}{\vec{n}} [/mm] ist mathematisch nicht definiert.
>
> Wenn ja , wie geht es dann weiter ? Wenn es falsch ist, wo
> ist der denkfehler ?
Du hast viel zu kompliziert gedacht.
Aufgabenteil b), die Fehlende Koordinate des Punktes B zu ermitteln geht nun auch ganz simpel:
Setzt man B in E ein, bekommt man folgende Gleichung:
[mm] $E:\left[\vektor{2\\y_{b}\\1}-\vektor{5\\8\\10}\right]\cdot\vektor{1\\3\\4}
[/mm]
Aus dieser Gleichung kannst du nun [mm] y_b [/mm] bestimmen.
>
> Lieben Gruß!
Zum Nachlernen und Nachschlagen der Vektorrechnung schau mal bei ![[]](/images/popup.gif) poenitz-net.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 So 09.09.2012 | | Autor: | Shumuu |
Erstmal vielen Dank!
Das mit dem Vektor ist mir schon klar, ich dachte mehr daran das man nun -1/x -1/y -1/z Koordinanten teilt und damit einen neuen Vektor hat ... Ich werd mir aufjedenfall die Website genauer anschauen, vielen Dank nochmals!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 So 09.09.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Erstmal vielen Dank!
> Das mit dem Vektor ist mir schon klar, ich dachte mehr
> daran das man nun -1/x -1/y -1/z Koordinanten teilt
> und damit einen neuen Vektor hat ...
Aber [mm] \vektor{-\frac{1}{x}\\-\frac{1}{y}\\-\frac{1}{z}} [/mm] steht nicht senkrecht auf [mm] \vektor{x\\y\\z}, [/mm] denn:
[mm] \vektor{-\frac{1}{x}\\-\frac{1}{y}\\-\frac{1}{z}}\cdot\vektor{x\\y\\z}=-1-1-1=-3\ne0
[/mm]
Das Skalarprdikt der bbeiden Vektoren ist also nicht Null, was es für die Orthogonalität aber sein müsste.
> Ich werd mir
> aufjedenfall die Website genauer anschauen, vielen Dank
> nochmals!
Mach das.
Marius
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