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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 So 19.06.2011 | | Autor: | Area |
| Aufgabe | Sei V ein R-Vektorraum mit einem Skalaprodukt <.,.> und L [mm] \in [/mm] End(V) eine Isometrie
a) Sei ( [mm] f_{1},...,f_{n} [/mm] ) eine Orthonormalbasis von V und M(L) die Matrix von L bzgl. dieser Basis. Zeige, dass die Matrix [mm] M(L^{-1}) [/mm] von [mm] L^{-1} [/mm] die transponierte Matrix von [mm] M(L)^{T} [/mm] ist.
b) Zeige, dass [mm] N=L+L^{-1} [/mm] ein symmetrischer Endomorphismus bzgl. <.,.> ist.
c) Sei W [mm] \subset [/mm] V ein Untervektorraum, für den gilt L(W) [mm] \subset [/mm] W, und [mm] W^{\perp} [/mm] sein orthogonales Komplement. Zeige: [mm] L(W^{\perp}) \subset W^{\perp}.
[/mm]
d) Sei v ein Eigenvektor von N. Zeige, dass v, Lv, [mm] L^{-1}v [/mm] linear abhängig sind. |
Tja, leider weiss ich nicht, wie ich bei den Teilaufgaben überhaupt anfangen soll. Über jegliche Tipps und Ansätze wäre ich somit froh.
Beste Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei V ein R-Vektorraum mit einem Skalaprodukt <.,.> und L
> [mm]\in[/mm] End(V) eine Isometrie
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> a) Sei [mm] \green{B:=}([/mm] [mm]f_{1},...,f_{n}[/mm] ) eine Orthonormalbasis von V und
> M(L) die Matrix von L bzgl. dieser Basis. Zeige, dass die
> Matrix [mm]M(L^{-1})[/mm] von [mm]L^{-1}[/mm] die transponierte Matrix von
> [mm]M(L)^{T}[/mm] ist.
>
> b) Zeige, dass [mm]N=L+L^{-1}[/mm] ein symmetrischer Endomorphismus
> bzgl. <.,.> ist.
>
> c) Sei W [mm]\subset[/mm] V ein Untervektorraum, für den gilt L(W)
> [mm]\subset[/mm] W, und [mm]W^{\perp}[/mm] sein orthogonales Komplement.
> Zeige: [mm]L(W^{\perp}) \subset W^{\perp}.[/mm]
>
> d) Sei v ein Eigenvektor von N. Zeige, dass v, Lv, [mm]L^{-1}v[/mm]
> linear abhängig sind.
> Tja, leider weiss ich nicht, wie ich bei den Teilaufgaben
> überhaupt anfangen soll. Über jegliche Tipps und Ansätze
> wäre ich somit froh.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Sind die Begriffe denn klar?
Was ist eine Isometrie?
Was weißt Du über "Isometrie und Skalarprodukt"?
Was kannst Du über [mm] (L(f_1), [/mm] ..., [mm] L(f_n)) [/mm] sagen?
Wie bekommst Du die Darstellungsmatrix von L bzgl. der Basis B?
Wenn Du die Matrix M(L) hast, wie bekommst Du dann die Matrix von [mm] L^{-1}?
[/mm]
Wenn Du diese Dinge weißt, solltest Du die erste Teilaufgabelösen können.
Gruß v. Angela
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 So 19.06.2011 | | Autor: | Area |
> Hallo,
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> .
Danke. 
> Sind die Begriffe denn klar?
> Was ist eine Isometrie?
> Was weißt Du über "Isometrie und Skalarprodukt"?
Ich denke bzw. glaube schon.
Isometrie: Abbildung die die Metrik erhält.
Bzgl. Skalarprodukt gilt: <Lv, Lw> = <v, w>
> Was kannst Du über [mm](L(f_1),[/mm] ..., [mm]L(f_n))[/mm] sagen?
Das [mm](L(f_1),[/mm] ..., [mm]L(f_n))[/mm] = [mm]((f_1),[/mm] ..., [mm](f_n))[/mm] ist?!
> Wie bekommst Du die Darstellungsmatrix von L bzgl. der
> Basis B?
Ich muss L als Linearkombination (ich hoffe, dass ist das richtige Wort) der Basisvektoren von B darstellen. Oder?
> Wenn Du die Matrix M(L) hast, wie bekommst Du dann die
> Matrix von [mm]L^{-1}?[/mm]
>
Sorry keine Ahnung.
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> Isometrie: Abbildung die die Metrik erhält.
> Bzgl. Skalarprodukt gilt: <lv, lw> = <v, w>
Hallo,
genau.
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> > Was kannst Du über [mm](L(f_1),[/mm] ..., [mm]L(f_n))[/mm] sagen?
> Das [mm](L(f_1),[/mm] ..., [mm]L(f_n))[/mm] = [mm]((f_1),[/mm] ..., [mm](f_n))[/mm] ist?!
Nein.
Wenn L jeden Basisvektor auf sich selbst abbilden würde, wäre L doch die Identität.
Du kannst, da Du weißt, daß [mm] [/mm] = [mm] , [/mm] etwas über die Länge der [mm] L(f_i) [/mm] sagen und über die Winkel zwischen [mm] L(f_i), L(f_j) [/mm] für [mm] i\not=j. (\*)
[/mm]
>
> > Wie bekommst Du die Darstellungsmatrix von L bzgl. der
> > Basis B?
> Ich muss L als Linearkombination (ich hoffe, dass ist das
> richtige Wort) der Basisvektoren von B darstellen. Oder?
Nein.
Du mußt für jeden Basisvektor [mm] f_i [/mm] der Basis B das Bild [mm] L(f_i) [/mm] berechnen, es als Koordinatenvektor bzgl der Basis schreiben und in die i-te Spalte der Matrix stellen.
Worauf es mir ankommt: in den Spalten der Darstellungsmatrix stehen die Bilder der Basisvektoren [mm] f_i.
[/mm]
Und über diese weißt Du aufgrund der Überlegungen [mm] (\*) [/mm] etwas. Nämlich?
Welche Eigenschaft hat also die Darstellungsmatrix von L?
> > Wenn Du die Matrix M(L) hast, wie bekommst Du dann die
> > Matrix von [mm]L^{-1}?[/mm]
> >
> Sorry keine Ahnung.
>
Oh. Das ist nicht gut.
Die Darstellungsmatrix der inversen Abbildung bekommt man durch Invertieren der Matrix.
Gruß v. Angela
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