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Orthogonale Gruppe: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 Mo 08.05.2017
Autor: Franzi17

Aufgabe
Sei A ∈ Om(R) und [mm] A^s [/mm] = A + A^(−1)
a) Zeigen Sie, dass [mm] A^s [/mm] symmetrisch ist.
b) Sei λ ∈ R ein Eigenwert von [mm] A^s [/mm] und [mm] A^s*v [/mm] = λv mit v [mm] \in \IR^m [/mm] \ {0}.
Wir setzen U = Spann(v,Av). Zeigen Sie, dass dimU ∈{1,2}.
c) Sei U wie in b). Zeigen Sie, dass Au ∈ U für alle u ∈ U.
d) Sei U wie in c) und U⊥ = {w ∈ Rm :<u,w> = 0 für alle u ∈ U}, U⊥ ein
Untervektorraum von [mm] R^m. [/mm] Zeigen Sie, dass Au ∈ U⊥ für alle u ∈ U⊥.
(Hinweis: u ∈ U ⇒ A(−1)u ∈ U.)

Hallo,

a.)
[mm] A^s [/mm] = A + A^(-1)
Da A, A^(-1)  /in [mm] O_m [/mm] gilt:
A ^T × A = [mm] E_m [/mm]
Und [mm] (A^{-1})^T [/mm] × A^(-1) = [mm] E_m [/mm]
Ausserdem A×A(-1) = [mm] E_m [/mm]
Also:
[mm] (A^{-1})^T [/mm] = A
[mm] A^T=A^{-1} [/mm]

z.z.: [mm] A^s [/mm] symmetrisch, also
Z.z.:  [mm] A^s [/mm] = [mm] (A^s)^T [/mm]
[mm] (A^s)^T= (A+A^{-1})^T [/mm] = [mm] A^T [/mm] + (A^(-1))T = A^(-1) + A = A + A^(-1) [mm] =A^s [/mm]

b.)
Hier komme ich leider nicht weiter.
U = span(v,Av) = xv + yAv
X,y [mm] \in \IR [/mm]
Und aus [mm] A^s×v [/mm] = [mm] \lambda×v [/mm]
Folgt:
Av + A^(-1)v = [mm] \lambda×v [/mm]

Ich verstehe den Zusammenhang nicht. Ich wäre sehr froh um einen Tipp,
weil ich sonst die restlichen Aufgaben auch nicht bearbeiten kann. Vielen Dank!


        
Bezug
Orthogonale Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 Mo 08.05.2017
Autor: fred97

Zu b): Da [mm] $v\ne [/mm] 0$ folgt: [mm] $\dim [/mm] U [mm] \ge [/mm] 1$. Da $U$ die lineare Hülle von 2 Vektoren ist, haben wir  [mm] $\dim [/mm] U [mm] \le [/mm] 2$.

Bezug
                
Bezug
Orthogonale Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 Mo 08.05.2017
Autor: Franzi17

Vielen Dank!!
stimmt die a.) so wie ich sie gelöst habe?

bei c.)
u [mm] \in [/mm] U
->
entweder: u = v
oder u = Av


z.Z. Au [mm] \in [/mm] U
1. Fall:
u = Av
Au= Av
und Av ist [mm] \in [/mm] U

2.Fall:
Au = A(Av)

aber das lässt sich nicht so umformen dass es in U ist?
Danke!


Bezug
                        
Bezug
Orthogonale Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:49 Fr 12.05.2017
Autor: hippias


> Vielen Dank!!
>  stimmt die a.) so wie ich sie gelöst habe?

Ja.

>
> bei c.)
>  u [mm]\in[/mm] U
>  ->

> entweder: u = v
>  oder u = Av

Das ist nicht richtig. $U$ enthält beliebige Linearkombinationen von $v$ und $Av$. Wie so oft reicht es aber aus, die Behauptung für die Erzeuger zu zeigen - falls es Dir nicht bewusst war, beweise es.

>  
>
> z.Z. Au [mm]\in[/mm] U
>  1. Fall:
>  u = Av
>  Au= Av
>  und Av ist [mm]\in[/mm] U
>
> 2.Fall:
> Au = A(Av)
>  
> aber das lässt sich nicht so umformen dass es in U ist?

Wende die Vorausstzung an.

>  Danke!
>  


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