Orthogonale Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Mo 13.05.2013 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Gegeben ist die orthog. Matrix A= 1/9 [mm] \pmat{ 4 & 1 & 8 \\ 7 & 4 & -4 \\ -4 & 8 & 1 } \in O_3 [/mm] (IR). Bestimme eine Matrix U [mm] \in O_3 [/mm] (IR) und eine Matrix N [mm] \in O_3 [/mm] (IR) , die nur +/-1 auf der Diagonalen stehen hat und 0 sonst [mm] (D_i [/mm] =(+/-1) [mm] \in M_1 [/mm] (IR)), sodass gilt: [mm] U^{-1} [/mm] AU = N |
Hallo, ich weiß leider nicht genau wie ich hier vorgehen muss.
Zunächst habe ich von A das charakteristische Poly bestimmt, es lautet: C(x) = [mm] x^3-x^2+x-1, [/mm] das hat nur die Nst 1 (da ja nur in IR gerechnet werden soll). Damit ist 1 der einzige Eigenwert, der zugehörige Eigenvektor lautet: [mm] \vektor{2\\ 2 \\ 1}, [/mm] orthonormalisiert lautet er 1/3 [mm] \vektor{2\\ 2 \\ 1}. [/mm] Allerdings weiß ich an dieser Stelle nicht mehr weiter... Wie kommt man denn auf diese Matrizen N und U?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:56 Di 14.05.2013 | | Autor: | rollroll |
Hat jemand eine Idee wie man die Aufgabe lösen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Di 14.05.2013 | | Autor: | rollroll |
Hilft mir hier evtl die Berechnung des orthogonalen Komplements zum Eigenvektor weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:37 Mi 15.05.2013 | | Autor: | rollroll |
Hallo.
Bräuchte wirklich dringend Hilfe! Wäre sehr dankbar über Tipps!
Danke schonmal im Voraus!
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> Gegeben ist die orthog. Matrix A= 1/9 [mm]\pmat{ 4 & 1 & 8 \\ 7 & 4 & -4 \\ -4 & 8 & 1 } \in O_3[/mm]
> (IR). Bestimme eine Matrix U [mm]\in O_3[/mm] (IR) und eine Matrix N
> [mm]\in O_3[/mm] (IR) , die nur +/-1 auf der Diagonalen stehen hat
> und 0 sonst [mm](D_i[/mm] =(+/-1) [mm]\in M_1[/mm] (IR)), sodass gilt: [mm]U^{-1}[/mm]
> AU = N
> Hallo, ich weiß leider nicht genau wie ich hier vorgehen
> muss.
Hallo,
das kann doch nicht klappen:
dort steht doch, daß man A diagonalisieren soll.
A ist aber nicht diagonalisierbar, denn A hat nur einen Eigenwert und die Dimension des Eigenraumes ist 1.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 15.05.2013 | | Autor: | rollroll |
Hallo, also die original Aufgabenstellung ist:
Gegeben sei die orthogonale Matrix A = 1/9 $ [mm] \pmat{ 4 & 1 & 8 \\ 7 & 4 & -4 \\ -4 & 8 & 1 } \in O_3 [/mm] $. Bestimme eine Matrix U [mm] \in O_3 [/mm] (IR), sowie eine Matrix N [mm] \in O_3 [/mm] (IR) der Form N= [mm] \pmat{ D_1 & 0 \\ 0 & D_r } [/mm] mit [mm] D_i=(+/-1) \in M_1(IR)oder D_i [/mm] = [mm] \pmat{ cos \alpha & -sin \alpha & \\ sin \alpha & cos \alpha } \in M_2 [/mm] (IR), [mm] \alpha \in [/mm] IR, sodass [mm] U^{-1}AU=N [/mm] gilt. Im Skript steht aber, dass man die zweite Form von [mm] D_i [/mm] (mit sin und cos) nur verwendet wenn die Matrix keine reellen EW hat...
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> Hallo, also die original Aufgabenstellung ist:
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> Gegeben sei die orthogonale Matrix A = 1/9 [mm]\pmat{ 4 & 1 & 8 \\ 7 & 4 & -4 \\ -4 & 8 & 1 } \in O_3 [/mm].
> Bestimme eine Matrix U [mm]\in O_3[/mm] (IR), sowie eine Matrix N
> [mm]\in O_3[/mm] (IR) der Form N= [mm]\pmat{ D_1 & 0 \\ 0 & D_r }[/mm] mit
> [mm]D_i=(+/-1) \in M_1(IR)oder D_i[/mm] = [mm]\pmat{ cos \alpha & -sin \alpha & \\ sin \alpha & cos \alpha } \in M_2[/mm]
> (IR), [mm]\alpha \in[/mm] IR, sodass [mm]U^{-1}AU=N[/mm] gilt. Im Skript
> steht aber, dass man die zweite Form von [mm]D_i[/mm] (mit sin und
> cos) nur verwendet wenn die Matrix keine reellen EW hat...
Hallo,
die Matrix A hat einen reellen EW, nämlich 1, und zwei nichtreelle Eigenwerte.
Sie ist orthogonal, beschreibt also eine Kongruenzabbildung des Raumes, und zwar eine Drehung.
Die Drehachse geht in Richtung des Eigenvektors. Ergänzt Du ihn zu einer OGB und normierst, so solltest Du die gesuchte Matrix U bekommen.
Merke: immer die Aufgabenstellung im Originalton posten.
Meist geht dann alles schneller und besser.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 15.05.2013 | | Autor: | rollroll |
Hallo,
der Eigenvektor lautet ja [mm] <\vektor{2 \\ 2 \\ 1}>. [/mm] Wenn ich diesen zu einer ONB ergänzen soll, muss ich doch das orthogonale Komplement bestimmen, oder? Zumindest steht in dem Algorithmus: Ist v ein Eigenvektor zum EW [mm] \lambda [/mm] , so gibt es zu dem Endomorphismus f eingeschränkt auf [mm] ^{\perp} [/mm] eine ONB von [mm] ^{\perp} [/mm] bzgl. der die Matrix von f eingeschränkt auf [mm] ^{\perp} [/mm] die angegebene Gestalt hat....
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> Hallo,
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> der Eigenvektor lautet ja [mm]<\vektor{2 \\ 2 \\ 1}>.[/mm] Wenn ich
> diesen zu einer ONB ergänzen soll, muss ich doch das
> orthogonale Komplement bestimmen, oder?
Hallo,
ja.
Der EV ist die Drehachse,
und dann bestimmst Du die dazu senkrechte Ebene bzw. eine ONB dieser Ebene. In dieser Ebene, der Drehebene, spielt sich die "Sin-cos-Geschichte" Deiner Matrix ab.
LG Angela
> Zumindest steht in
> dem Algorithmus: Ist v ein Eigenvektor zum EW [mm]\lambda[/mm] , so
> gibt es zu dem Endomorphismus f eingeschränkt auf
> [mm]^{\perp}[/mm] eine ONB von [mm]^{\perp}[/mm] bzgl. der die Matrix
> von f eingeschränkt auf [mm]^{\perp}[/mm] die angegebene Gestalt
> hat....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mi 15.05.2013 | | Autor: | rollroll |
Also, wenn ich das orthogonale Komplement bestimme, muss ich doch (x y z) A [mm] \vektor{2 \lambda \\ \lambda \\ 0} [/mm] =0 lösen, oder? Oder bestimmt man so das orthog. Kompl. nur, wenn man es in Bezug auf eine Bilinearform machen muss? Oder genügt es [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = 0 lösen?
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> Oder genügt es [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] * [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> = 0 lösen?
Hallo,
der EV war doch [mm] \vektor{2\\2\\1}, [/mm] oder?
Dann mußt Du eine Basis des Lösungsraumes von
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0}*\vektor{x \\ y \\ z}=0 [/mm]
finden.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mi 15.05.2013 | | Autor: | rollroll |
Also eine Basis des Lösungsraums $ [mm] \vektor{2\\2\\1}$ [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y \\ z}=0 [/mm] ist doch
{ [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\0}, \vektor{-1/2 \\ 0 \\ 1} [/mm] }, oder?
(Denn man hat ja 2x+2y+z=0 und damit x=-y-z/2)
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Hallo,
ja.
Und nun mache eine ONB daraus.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mi 15.05.2013 | | Autor: | rollroll |
Wäre die ONB dann:
{1/3 [mm] \vektor{ 2 \\ 2 \\ 1}, 1/\wurzel{2} \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}, \wurzel{5}/2 \vektor{-1/2 \\ 0 \\ 1} [/mm] }.
Besteht die Matrix U dann aus diesen Vektoren?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Wäre die ONB dann:
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> {1/3 [mm]\vektor{ 2 \\ 2 \\ 1}, 1/\wurzel{2} \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}, \wurzel{5}/2 \vektor{-1/2 \\ 0 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }.
> Besteht die Matrix U dann aus diesen Vektoren?
Hallo,
die sind jetzt zwar normiert, aber der zweite und dritte sind doch nicht orthogonal.
Du mußt Dir eine ONB basteln - im Zweifelsfalle mit Gram-Schmidt.
Und ob die Matrix es dann tut, kannst Du durch nachrechnen feststellen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Mi 15.05.2013 | | Autor: | rollroll |
Also soll ich mit Gram-Schmidt aus der Basis vom orthogonalen Komplement ein ONB machen? Verstehe ich das richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Mi 15.05.2013 | | Autor: | rollroll |
Eine ONB des orthogonalen Komplements wäre dann
{ 1/ [mm] \wurzel{2} \vektor{-1\\ 1 \\0}, [/mm] 1/ [mm] \wurzel{11} \vektor{-1 \\ -1\\ 3} [/mm] }
Wäre das so richtig?
Und die Matrix N besteht dann aus den Vektoren der obigen ONB und dem Eigenvektor?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eine ONB des orthogonalen Komplements wäre dann
>
> { 1/ [mm]\wurzel{2} \vektor{-1\\ 1 \\0},[/mm] 1/ [mm]\wurzel{11} \vektor{-1 \\ -1\\ 3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> Wäre das so richtig?
Hallo,
das kannst Du doch selbst kontrollieren, wir sind ja nicht im Kindergarten hier.
1. Haben alle Vektoren die Länge 1?
2. Kannst Du die beiden Vektoren, von denen Du ausgingst, als Linearkombination der neuen Vektoren schreiben?
3. Sind Deine 3 Vektoren paarweise orthogonal?
Wenn alles zutrift, ist's richtig, sonst falsch.
Wenn Du nochmal rechnest, prüfe Dein Ergebnis bitte selbst.
>
> Und die Matrix N besteht dann aus den Vektoren der obigen
> ONB und dem Eigenvektor?
Wenn Du die richtigen Vektoren in der richtigen Reihenfolge hinschreibst: ja.
Aber Du solltest dann auch unbedingt nachrechnen, ob Du auf die richtige Endmatrix kommst.
LG Angela
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