Orthogonale Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper und A eine quadratische Matrix auf K.
Wieviele A's gibt es, die gleichzeitig obere Dreiecksmatrizen und orthogonale Matrizen sind, gibt es auf K ?
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Mich verwundert bei der Frage, dass ich eine Anzahl angeben soll.
Nach meinen Überlegungen, gibt es doch nur eine Matrix, welche das erfüllt, und das ist die Einheitsmatrix. Stimmt das?
Ich habe durch Probieren keine andere Matrix gefunden, die obere Dreiecksmatrix ist, und noch dazu orthogonal.
Vielen Dank für Tipps,
robbonaut
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Di 22.05.2007 | | Autor: | robbonaut |
Achso, eine Andere Überlegung von mir war,
dass die Determinante 1 oder -1 sein muss. Kommt man
über die Determinanten vllt. weiter?
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Jede Spalte muß zu den Spalten links von ihr orthogonal sein. So kannst du dich über das Skalarprodukt von Spalte zu Spalte voranarbeiten. Und da jede Spalte auch noch die Länge 1 haben muß, bleiben da nicht mehr viele Möglichkeiten offen. Aber beachte: Außer +1 gibt es auch noch -1!
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ok, also :
Auf jeden Fall müssen dann auch bei der oberen Dreiecksmatrix die Elemente neben der Diagonale auch Null sein, denn sonst klappt's nicht
mit dem Skalarprodukt der beiden Vektoren, also so etwa
1 0 1 Allerdings: Diese Matrix dann transponiert ist nicht mehr
0 1 0 die Inverse, also gibt es nur zwei Matrizen, die das erfüllen
0 0 1
quasi
1 0 0
0 1 0
0 0 1
und
-1 0 0
0 -1 0
0 0 -1
?
mfg, robin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Di 22.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Robin!
> ok, also :
>
> Auf jeden Fall müssen dann auch bei der oberen
> Dreiecksmatrix die Elemente neben der Diagonale auch Null
> sein, denn sonst klappt's nicht
> mit dem Skalarprodukt der beiden Vektoren, also so etwa
Genau.
Das kannst du uebrigens recht einfach per Induktion zeigen.
> 1 0 1 Allerdings: Diese Matrix dann transponiert ist
> nicht mehr
> 0 1 0 die Inverse, also gibt es nur zwei Matrizen, die
> das erfüllen
> 0 0 1
>
> quasi
>
> 1 0 0
> 0 1 0
> 0 0 1
>
> und
>
> -1 0 0
> 0 -1 0
> 0 0 -1
Was ist mit [mm] $\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }$ [/mm] etc.? Du kannst jeden Diagonaleintrag frei aus [mm] $\{ 1, -1 \}$ [/mm] waehlen...
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Di 22.05.2007 | | Autor: | robbonaut |
Ahhh.. danke!!!!!
ich glaub, jetzt bekomm ich alles zusammen.
mfg,
robin
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