Orthogonale Proj. auf UVR U < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] (V,\gamma) [/mm] sei euklidischer Vektorraum, U Untervektorraum von V, [mm] v\in [/mm] V.
Zeige:
[mm] $\inf_{w\in U}||v-w||^{2} [/mm] = [mm] ||v-u||^{2}\quad \Leftrightarrow\quad [/mm] v-u [mm] \in U^{\perp}$,
[/mm]
wobei [mm] $U^{\perp} [/mm] = [mm] \{w'\in V|\gamma(w',u') = 0 \forall u'\in U\}$ [/mm] das orthogonale Komplement von U ist. |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe, speziell der Richtung " [mm] \Rightarrow [/mm] ", komme ich nicht weiter...
Ich habe zunächst Folgendes gemacht:
[mm] $||v-u||^{2}$
[/mm]
$= [mm] \inf_{w\in U}||v-w||^{2}$
[/mm]
$= [mm] \inf_{w\in U}||\underbrace{v-\pi_{U}(v)}_{\in U^{\perp}} [/mm] + [mm] \underbrace{\pi_{U}(v) - w}_{\in U}||^{2}$
[/mm]
( [mm] \pi_{U}(v) [/mm] bezeichnet die orthogonale Projektion des Vektor v auf den UVR U). Nun Satz des Pythagoras:
$= [mm] \inf_{w\in U}\Big(||v-\pi_{U}(v)||^{2} [/mm] + [mm] ||\pi_{U}(v) [/mm] - [mm] w||^{2}\Big)$
[/mm]
$= [mm] ||v-\pi_{U}(v)||^{2}$
[/mm]
(für $w [mm] =\pi_{U}(v)$) [/mm] .
Jetzt habe ich also
[mm] $||v-u||^{2} [/mm] = [mm] ||v-\pi_{U}(v)||^{2}$.
[/mm]
Nützt mir das was, um [mm] $v-u\in U^{\perp}$ [/mm] zu zeigen? Ich komme hier nicht weiter...
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Mo 10.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Für t [mm] \in \IR [/mm] und w [mm] \in [/mm] U ist (nachrechnen !):
[mm] $||v-u||^2 \le ||v-(u+tw)||^2= ||v-u||^2-2t+t^2||w||^2$
[/mm]
Ist w [mm] \ne [/mm] 0, so setze $t= [mm] \bruch{}{||w||^2}$
[/mm]
Dann solltest Du sehen, dass $<v-u,w> = 0$ ist
FRED
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Hallo Fred,
zunächst danke für deine Antwort!
> Für t [mm]\in \IR[/mm] und w [mm]\in[/mm] U ist (nachrechnen !):
>
> [mm] $||v-u||^2 \le ||v-(u+tw)||^2$
[/mm]
Ich kann diese Ungleichung noch nicht nachvollziehen. Im Allgemeinen gilt die doch nicht?
Was für Voraussetzungen hast du angenommen für v und u?
-------
Ich habe auch nochmal drüber nachgedacht: Wir haben ja jetzt (nach meiner Umformung oben):
[mm] $||v-u||^{2} = ||v-\pi_{U}(v)||^{2}$ [/mm] (*)
Nun gilt ja [mm] $||v-u||^{2} [/mm] = [mm] ||v-\pi_{U}(v) [/mm] + [mm] \pi_{U}(v) [/mm] - [mm] u||^{2} [/mm] = [mm] ||v-\pi_{U}(v)||^{2} [/mm] + [mm] ||\pi_{U}(v) [/mm] - [mm] u||^{2}$ [/mm] nach dem Satz des Pythagoras. Also hätte ich mit (*):
[mm] $||\pi_{U}(v) [/mm] - [mm] u||^{2} [/mm] = 0$,
woraus nun [mm] $\pi_{U}(v) [/mm] - u = 0$, also [mm] $\pi_{U}(v) [/mm] = u$ folgt.
Damit wäre $v-u = [mm] v-\pi_{U}(v) \in U^{\perp}$.
[/mm]
Würde das auch gehen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mo 10.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> zunächst danke für deine Antwort!
>
> > Für t [mm]\in \IR[/mm] und w [mm]\in[/mm] U ist (nachrechnen !):
> >
> > [mm]||v-u||^2 \le ||v-(u+tw)||^2[/mm]
>
> Ich kann diese Ungleichung noch nicht nachvollziehen. Im
> Allgemeinen gilt die doch nicht?
> Was für Voraussetzungen hast du angenommen für v und u?
V [mm] \in [/mm] V ist doch vorgegeben ! Weiter ist u [mm] \in [/mm] U mit
(*) $ [mm] \inf_{w\in U}||v-w||^{2} [/mm] = [mm] ||v-u||^{2}$
[/mm]
Für t [mm] \in \IR [/mm] und w [mm] \in [/mm] U ist doch u+tw [mm] \in [/mm] U und somit folgt aus (*), dass
$ [mm] ||v-u||^2 \le ||v-(u+tw)||^2 [/mm] $
FRED
>
> -------
>
> Ich habe auch nochmal drüber nachgedacht: Wir haben ja
> jetzt (nach meiner Umformung oben):
>
> [mm]||v-u||^{2} = ||v-\pi_{U}(v)||^{2}[/mm] (*)
>
> Nun gilt ja [mm]||v-u||^{2} = ||v-\pi_{U}(v) + \pi_{U}(v) - u||^{2} = ||v-\pi_{U}(v)||^{2} + ||\pi_{U}(v) - u||^{2}[/mm]
> nach dem Satz des Pythagoras. Also hätte ich mit (*):
>
> [mm]||\pi_{U}(v) - u||^{2} = 0[/mm],
>
> woraus nun [mm]\pi_{U}(v) - u = 0[/mm], also [mm]\pi_{U}(v) = u[/mm] folgt.
> Damit wäre [mm]v-u = v-\pi_{U}(v) \in U^{\perp}[/mm].
>
> Würde das auch gehen?
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Fred,
vielen Dank! Habe es verstanden.
Setze ich nun in der Ungleichung:
$ [mm] ||v-u||^2 \le ||v-(u+tw)||^2= ||v-u||^2-2t+t^2||w||^2 [/mm] $
für
$ t= [mm] \bruch{}{||w||^2} [/mm] $
ein, so erhalte ich:
$ [mm] ||v-u||^2 \le ||v-u||^2-2*\frac{^{2}}{||w||^{2}}+ \frac{^{2}}{||w||^{2}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le -\frac{^{2}}{||w||^{2}}$,
[/mm]
also $<v-u,w>^{2} = 0$.
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Würde trotzdem auch meine oben geschriebene Variante funktionieren?:
> > Ich habe auch nochmal drüber nachgedacht: Wir haben ja
> > jetzt (nach meiner Umformung oben):
> >
> > [mm]||v-u||^{2} = ||v-\pi_{U}(v)||^{2}[/mm] (*)
> >
> > Nun gilt ja [mm]||v-u||^{2} = ||v-\pi_{U}(v) + \pi_{U}(v) - u||^{2} = ||v-\pi_{U}(v)||^{2} + ||\pi_{U}(v) - u||^{2}[/mm]
> > nach dem Satz des Pythagoras. Also hätte ich mit (*):
> >
> > [mm]||\pi_{U}(v) - u||^{2} = 0[/mm],
> >
> > woraus nun [mm]\pi_{U}(v) - u = 0[/mm], also [mm]\pi_{U}(v) = u[/mm] folgt.
> > Damit wäre [mm]v-u = v-\pi_{U}(v) \in U^{\perp}[/mm].
Vielen Dank!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 12.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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