Orthogonale Projektion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 So 11.02.2007 | | Autor: | dhaehn |
| Aufgabe | | Sei [mm] V=\IC^3 [/mm] der unitäre Raum mit dem gewöhnlichen Skalarprodukt, und U [mm] \subset [/mm] V sei der Lösungsraum der linearen Gleichung [mm] x_{1}+x_{2}-ix_{3}=0. [/mm] Bestimmen Sie die orthogonale Projektion des Vektors [mm] \vec{x}:=\vektor{1 \\ i \\ 0} [/mm] in U. |
Zu der genannten Aufgabe habe ich folgendes Problem: Wie stelle ich den Lösungsraum zu der linearen Gleichung auf? Die Berechnung der orthogonalen Projektion ist kein Problem, wenn ich U als Matrix formulieren kann. Aber wie komme ich darauf?
Danke+Gruß
Daniel
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm]V=\IC^3[/mm] der unitäre Raum mit dem gewöhnlichen
> Skalarprodukt, und U [mm]\subset[/mm] V sei der Lösungsraum der
> linearen Gleichung [mm]x_{1}+x_{2}-ix_{3}=0.[/mm] Bestimmen Sie die
> orthogonale Projektion des Vektors [mm]\vec{x}:=\vektor{1 \\ i \\ 0}[/mm]
> in U.
> Zu der genannten Aufgabe habe ich folgendes Problem: Wie
> stelle ich den Lösungsraum zu der linearen Gleichung auf?
Hallo,
gesucht sind diejenigen [mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3} \in \IC^3, [/mm] welche Lösung dr Gleichung [mm] x_{1}+x_{2}-ix_{3}=0 [/mm] sind.
Wir haben hier eine lineare Gleichung mit drei Unbekannten, können also zwei Variable völlig frei wählen. Wählt man [mm] x_3=s [/mm] und [mm] x_2=r [/mm] mit r,s [mm] \in \IC, [/mm] so muß für [mm] x_1 [/mm] gelten [mm] x_1=-r+is.
[/mm]
Also haben die Lösungen die Gestalt [mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3}=\vektor{-r+is \\ r\\ s} =r\vektor{-1 \\ 1\\ 0}+s\vektor{i \\ 0\\ 1}.
[/mm]
Somit ist [mm] U=<\vektor{-1 \\ 1\\ 0},\vektor{i \\ 0\\ 1}> [/mm] der gesuchte Lösungsraum.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Mo 12.02.2007 | | Autor: | dhaehn |
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> Also haben die Lösungen die Gestalt [mm]\vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3}=\vektor{-r+is \\ r\\ s} =r\vektor{-1 \\ 1\\ 0}+c\vektor{i \\ 0\\ 1}.[/mm]
>
> Somit ist [mm]U=<\vektor{-1 \\ 1\\ 0},\vektor{-1 \\ 1\\ 0}>[/mm] der
> gesuchte Lösungsraum.
>
Wäre dann nicht [mm]U=<\vektor{-1 \\ 1\\ 0},\vektor{i \\ 0\\ 1}>[/mm] der gesuchte Lösungsraum?
Danke+Gruß
Daniel
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> Wäre dann nicht [mm]U=<\vektor{-1 \\ 1\\ 0},\vektor{i \\ 0\\ 1}>[/mm]
> der gesuchte Lösungsraum?
Doch, natürlich!
Ich werd's gleich korrigieren.
Gruß v. Angela
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