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| Aufgabe | | Betrachten Sie den UVR [mm] W=<\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ -1}>\subset \IR^3, [/mm] den Vektor [mm] u=\vektor{0 \\ 1 \\ -1} \in \IR^3 [/mm] und die orthogonale Projektion [mm] \pi_W(u) [/mm] von u auf W bzgl. des Standardskalarprodukts. Was ist dann die Summe der Einträge von [mm] \pi_W(u) [/mm] ??? |
Hallo, kann mir vielleicht jemand helfen??
Bei dieser Aufgabe weiß ich irgendwie überhaupt nicht, wie ich anfangen soll und was ich machen muss.
Danke für Hilfe.
Gruß
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> Betrachten Sie den UVR [mm]W=<\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ -1}>\subset \IR^3,[/mm]
> den Vektor [mm]u=\vektor{0 \\ 1 \\ -1} \in \IR^3[/mm] und die
> orthogonale Projektion [mm]\pi_W(u)[/mm] von u auf W bzgl. des
> Standardskalarprodukts. Was ist dann die Summe der Einträge
> von [mm]\pi_W(u)[/mm] ???
Hallo,
bei der orthogonalen Projektion auf W werden alle Vektoren, die in W liegen, auf sich selbst abgebildet, und alle zu W orthogonalen werden auf die Null abgebildet.
Die Aufgabe kannst Du lösen, indem Du u schreibst als Linearkombination v. [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] und einem zu beiden senkrechten Vektor.
Dann die orthogonale Projektion durchführen.
Gruß v. Angela
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Hallo, danke für den Tipp.
Also mache ich einfach folgendes:
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -1} =r*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s* \vektor{1 \\ 0 \\ -1}+t\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, [/mm] mit [mm] r,s,t\in \IR. [/mm] ich habe den Vektor [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] genommen, da er ja orthogonal zu W steht.
So, dann bekomm ich raus: r=-1, s=1, t=1. und damit der Vektor [mm] v=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}.
[/mm]
so heißt das jetzt, die orthogonale Projektion ist [mm] v=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und was bedeutet dieser Vektor noch? Habe den Sinn irgendwie noch nicht so verstanden.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 Mi 16.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bitte lies angelas post noch mal genau! was soll v damit zu tun haben?
Begründe, warum du denkst, dass dein v die oth. Proj. ist!
Gruss leduart
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Also irgendwie muss ich doch nochmal was fragen.
ich bekomme als orthogonale Projektion folgenden Vektor raus:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -1}, [/mm] habe den herausbekommen, in dem ich folgendes GLS gelöst habe:
[mm] A^t*A*x=A^t*u, [/mm] wobei A die Matrix mit den Spalten der Vektoren aus W. So die orthogonale Projektion bekommt man ja dann durch: [mm] \pi_W(u)=A*x. [/mm] Dadurch habe ich dann den Vektor herausbekommen, der die orthogonale Projektion sein soll [mm] \pi_W(u)=\vektor{0 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
So, wenn ich jetzt [mm] u-\pi_W(u) [/mm] rechne, muss dass ja senkrecht auf W stehen. Das haut ja eigentlich auch hin, denn [mm] u-\pi_W(u)=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und das Skalarprodukt von diesem Vektor mit den Vektoren aus W ergibt 0, also stehen sie senkrecht aufeinander.
Ist das so alles richtig?
Gruß
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Hallo,
mal vorweg: der Vektor, den Du ausgerechnet hast, ist richtig.
Das, was Du veranstaltest, um diesen Vektor zu bekommen, finde ich furchtbar umständlich - und ich bekomme dabei den Verdacht, daß Du gar nicht weißt, was eine orthogonale Projektion ist. Schonmal Schattenspiele an der Wand gemacht? Oder irgendwas zwischen Diaprojektor und Leinwand gehalten?
Alles, was parallel zur Projektionsfläche ist, verändert seine Gestalt nicht, was senkrecht dazu ist, verschwindet. Der Besenstil wird zu 'nem kleinen Kreis, wenn man ihn entlang des Lichtstrahls hält.
Du hattest bereits herausgefunden $ [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -1} [/mm] = [mm] -1\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+1\cdot{} \vektor{1 \\ 0 \\ -1}+1\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, [/mm] $.
Die ersten beiden Vektoren werden durch [mm] \pi_W [/mm] auf sich selbst abgebildet, der dritte, zu W senkrechte, auf die Null.
Also
[mm] \pi_W(\vektor{0 \\ 1 \\ -1}) =\pi_W(-1\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+1\cdot{} \vektor{1 \\ 0 \\ -1}+1\vektor{0 \\ 1 \\ 0})=\pi_W(-1\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ 0})+\pi_W(1\cdot{} \vektor{1 \\ 0 \\ -1})+\pi_W(1\vektor{0 \\ 1 \\ 0})= -\pi_W(\vektor{1 \\ 0 \\ 0})+\pi_W(\vektor{1 \\ 0 \\ -1})+\pi_W(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})=...
[/mm]
Wenn man möchte, kann man die Abbildung natürlich auch als Matrix schreiben.
Die darstellende Matrix v. [mm] \pi_W [/mm] bzgl der obigen Basis ist [mm] \pmat{ 1 & 0&0 \\ 0 &1&0\\0&0&0 }, [/mm] Du kannst natürlich mittels Basistransformation auch die darstellende Matrix bzgl. der Standardbasis berechnen - aber wofür, wenn's nicht zwingend verlangt ist?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 Mi 16.07.2008 | | Autor: | jaruleking |
ok, ich habe es jetzt doch hinbekommen, weiß zwar nicht, obs das gleiche system ist, wie es mir oben empfohlen wurde, aber mit dem anderne hats auch geklappt. das verfahren wird auf folgenden link übrings richtig gut erklärt, falls noch wer interesse hat:
http://ismi.math.uni-frankfurt.de/analysisfuerinformatiker/Vorlesung8a.pdf
gruß
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