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| Aufgabe | Die Matrix [mm]P\in M_n_,_n(\IR)[/mm] sei die Darstellungsmatrix bzgl. der Standarbasis der orthogonalen Projektion des euklidischen Raumes [mm] V=R^n [/mm] auf den Unterraum U.
Zeigen Sie: E-P ist die Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasis der orthogonalen Projektion von V auf [mm]U[/mm] orthogonal. (E bezeichnet die Einheitsmatrix)
Hinweis: Direkte Summe |
Ich weiß gar nicht, wie ich da wirklich rangehen soll:-(
Ich weiß über die Orthogoanale Projektion folgendes:
Es gilt: [mm] P^2=P
[/mm]
Die Matrix P kann nur die Eiegenwerte 0(im kern) und 1(im Bild) haben
Die direkte Summe, sagt ja nichts weiter aus als dass der schnitt von U und U orthogonal die leere menge sein müssen. Ne andere definiton war ja auch, dass U und U orthogonal ne Orthonormalbasis besitzen und die Vereiningung der Basen auch dann in V liegen. V=U[mm]\oplus[/mm]U orthogonal
Ich weiß wirklich nciht wie ich das zeigen soll
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Mi 27.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wo liegt denn der Vektor (E-P)*v=v-v'; [mm] v'=P*v\in [/mm] U
Gruss leduart
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Stehe wirklich auf dem Schlauch.
Das einzige, was mir sporadisch einfallen würde und soory falls das nur misst ist, ist folgendes:
[mm]v'=P\cdot{}v\in U[/mm]
lässt sich schreiben als
[mm]v'=\lambda\cdot{}v\in U[/mm] mit [mm]\lambda[/mm]als Eigenwert
Da nur die Eigenwerte 0 und 1 möglich sind, folgt:
[mm]v'=\ 1 \cdot{}v\in U[/mm] und [mm]v'=\ 0 \cdot{}v\in U[/mm] dass heißt aus
[#000000](E-P)*v=v-v'[/#000000] folgert man:
[#000000](E-P)*v=v zum EW 0 und
[/#000000][#000000](E-P)*v=0[/#000000] zum EW 1
Ich glaub ich mache nur quatsch hier:-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Do 28.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was ist denn wenn du von einem vektor seine Projektion abziehst?
Wenn du es nicht siehst machs in [mm] R^2 [/mm] projizier (a,b) auf die x Achse, dann ziehe von ab die projektion ab, so und jetzt allgemein. v-Pv?
oder wie kannst du aus v' wieder v erzeugen? was musst du addieren?
gruss leduart
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tut mir wirklich leid,ich weiß es nicht.
Prinzipiell stand unter dieser Aufgabe auch noch ne rechenaufgabe.
Da hatte ich ne Normalengleichung im [mm] R^3 [/mm] gegeben und sollte die Darstellungsmatrix der orthogonalen Projektion berechnen. Das war kein Problem. Aber hier fehlt mir irgendwie des Geistesblitz. Scheint aber nicht so schwer zu sein, da es ja offensichtlich scheint. ich komme leider nicht drauf. Danke fürs verständnis und hoffe auf weitere Hilfe
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> tut mir wirklich leid,ich weiß es nicht.
Hallo,
hast Du denn gezeichnet?
Mach doch mal ein konkretes Beispiel im [mm] \IR^2.
[/mm]
Nimm z.B. [mm] U:=<\vektor{1\\2}>.
[/mm]
Was ist [mm] U^{\perp}?
[/mm]
Nimm nun den Vektor [mm] v=\vektor{-4\\7} [/mm] und projiziere ihn senkrecht auf U.
Welchen Vektor Pv erhältst Du? Zeichne den Vektor v-Pv ein. Welcher Vektor ist das? Eigenschaften?
Wenn Du Dir das überlegt hast, weißt Du auch, wie man die orthogonale Projektion rechnerisch mit Mitteln der Schule bewältigen kann.
Gruß v. Angela
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Wenn ich das richtig geacht habe ist Pv= [mm]\vektor{2 \\
4}[/mm]
v-Pv=[mm]\vektor{-6 \\
3}[/mm] und das ist der orthogonale Vektor zu U
Das habe ich ja verstanden und ist nicht so schwer, wenn es ums rechnen geht. Wenn ich aber so allgemein was zeigen muss, stehe icha uf dem schlauch:-(
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> Wenn ich das richtig geacht habe ist Pv= [mm]\vektor{2 \\
4}[/mm]
>
> v-Pv=[mm]\vektor{-6 \\
3}[/mm] und das ist der orthogonale Vektor
> zu U
Hallo,
ja, genauso ist es.
>
> Das habe ich ja verstanden und ist nicht so schwer, wenn es
> ums rechnen geht. Wenn ich aber so allgemein was zeigen
> muss, stehe icha uf dem schlauch:-(
Mit dem Gedanken "ich stehe auf dem Schlauch" blockiert man sich selbst, denn er verhindert notwendige Aktivitäten.
Ich hab' Dir in meiner Antwort von heute morgen ja gesagt, was nun weiter zu tun ist.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Do 28.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Gegeben: [mm] $V=\IR^n= [/mm] U [mm] \oplus U^{\perp}$ [/mm] und P die orth. Projektion auf U.
Dann gilt:
[mm] $P^2=P$ [/mm] , Bild(P)=U und Kern(P) = [mm] U^{\perp}.
[/mm]
Zeigen sollst Du:
[mm] $(E-P)^2=E-P$ [/mm] , Bild(E-P)= [mm] U^{\perp} [/mm] und Kern(E-P) = U.
FRED
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Zu zeigen:
> [mm] Bild(E-P)=U^{\perp}
[/mm]
> und Kern(E-P) = U
Hallo,
wir wissen, daß für die orthogonale Projektion P auf U gilt: [mm] KernP=U^{\perp}, [/mm] BildP=U.
Zeigen willst Du nun, daß
[mm] Bild(E-P)=U^{\perp} [/mm] ist.
Dazu ist zweierlei zu zeigen:
1. [mm] Bild(E-P)\subseteq U^{\perp}
[/mm]
2. [mm] U^{\perp}\subseteq [/mm] Bild(E-P).
zu 1.:
Sei [mm] v\in [/mm] Bild(E-P).
Dann gibt es ein v' mit (E-P)v'=v.
Tip: zeige nun, daß v im kern von P liegt.
zu 2.:
Sei [mm] v\in U^{\perp}.
[/mm]
Tip: berechne (E-P)v ...
Zum Kern mach Dir mal selbst ein paar Gedanken.
Gruß v. Angela
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Entschuldige mich aber jetzt dafür, wenn ich nur misst hier hinschreibe:-(
<font class="ForumMessage" color="#000000">sei [mm]v\in[/mm] Bild(E-P).
Dann gibt es ein v' mit (E-P)v'=v
v´-Pv`=v, da Pv´[mm]\in[/mm]U und Bild(P)[mm]\in[/mm]U hat P den EW 1
d.h.
v`-[mm]\lambda[/mm]v`=v mit [mm]\lambda[/mm] zum EW 1 folgt
0=v und d.h. v[mm]\in[/mm]kern(E-P)
Sei nun v[mm]\in[/mm]U orthogonal
(E-P)v=v-Pv, da v element von U orthogonal ist gilt ja glaube ich
v-Pv=0
v=Pv
und daraus folgt, das v=0 sein muss
Kann mcih nur noch enstchildigen, falls es nur misst heir sit :-(
</font>
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Hallo,
"ich versuch's mal" ist die richtige Einstellung!
Gewöhne Dir an, immer genau hinzuschreiben, welches die Voraussetzungen sind und was Du gerade zeigen möchtest.
Das hilft Dir und den Korrektoren.
Voraussetzung: P ist Projektion auf U, also [mm] P=P^2,$ KernP=U^{\perp}, [/mm] $ BildP=U.
Zu zeigen:
$ [mm] Bild(E-P)=U^{\perp},
[/mm]
dh.
1. $ [mm] Bild(E-P)\subseteq U^{\perp} [/mm] $
2. $ [mm] U^{\perp}\subseteq [/mm] $ Bild(E-P).
Beweis:
zu 1.
> [#000000]sei [mm]v\in[/mm] Bild(E-P).
>
> Dann gibt es ein v' mit (E-P)v'=v.
Also ist
> v´-Pv'=v.
Es ist [mm] Pv'\in [/mm] BildP=U.
[/#000000][green][#000000]
Hier sammelt sich Unfug:
a.
Es ist BildP=U, meinetwegen auch [mm] BildP\subseteq [/mm] U, aber [mm] "\in" [/mm] ist doch völliger Quatsch.
b.
Es hat doch P nicht den Eigenwert 1, weil [mm] [/#000000]"Pv´$\in$U [/mm] und [mm] Bild(P)$\in$U", [/mm] sondern P hat die Eigenwerte 1 und 0, weil es eine Projektion ist.
Mach jetzt mal lieber so weiter:
Du hattest v´-Pv'=v.
Laß nun P auf diese Gleichung los: P(v'-Pv')=Pv,
und ziehe nun Schlüsse.
[#000000]zu 2.
> Sei nun v[mm]\in[/mm]U orthogonal
> (E-P)v=v-Pv, da v element von U orthogonal ist gilt ja
> glaube ich
>
> v-Pv=0
Nein.
Was passiert denn bei der Projektion auf U mit den Vektoren, die senkrecht zu U sind? Sie werden auf die Null abgebildet!
Also ist (E-P)v=v-Pv= ???
Und jetzt erinnere Dich, was Du eigentlich zeigen wolltest.
Gruß v. Angela
[/#000000]
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Zu zeigen:
[mm]Bild(E-P)=U^{\perp}[/mm]
Sei v[mm]\in[/mm][mm]Bild(E-P)[/mm]
Dann folgt: [mm](E-P)v[/mm]´=v
Jetzte wende ich es auf P an:
Pv´-P^2v´=v, da gilf [mm] P^2=P
[/mm]
Pv´-Pv´=v
0=v, d.h 0 [mm]\in Bild(E-P)[/mm] und demenstprechend auch v=0 [mm]\in kern(E-P)[/mm]
daraus folgt: [mm]Bild(E-P)\subset U^{\perp}[/mm]
2. Sei [mm]v\in U^{\perp}[/mm]
[#000000](E-P)v=v-Pv=[/#000000]???
ich dachte dass das dann Null werden muss, anscheinend falsch :-(
Wenn ich nämlich [mm] U*[/mm] [mm] U^{\perp}[/mm] nehme, muss doch null rauskommen.
Das wäre aber hier nur der Fall, wenn v=0 ist. Pv muss ja null werden, demenstprechend muss v selbst null sein. demenstprechend ist 0[mm]\in Bild(P-E)[/mm]
und das war doch zu zeigen. Dann ahben wir inshgesammt
[mm]U^{\perp}\subseteq[/mm] Bild(E-P)
Es tut mir wirklich leid, wenn ich dir auf die nerven gehe. Schreibe halt am Montag eine klausr und das ist die einzige Aufgabe auf einer alten Klausur, die ich nicht kann.
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Hallo,
wenn dies die einzige Aufgabe ist, welche dir Sorgen bereitet, dann bist Du doch ganz gut vorbereitet. Mathematik ist Nebenfach für Dich?
Manchmal braucht man auch Mut zur Lücke.
Vielleicht solltest Du Dir nochmal das Wesen der orthogonalen Projektion klarmachen, also die Projektion wirklich "begreifen", statt zu rechnen.
Projektion mal anschaulich - ich erlaube mir hier bewußt ein paar Ungenauigkeiten:
der Unterraum U, auf welchen projiziert wird, ist die Leinwand.
Die Lichtquelle steht so, daß die alle Strahlen senkrecht zur Leinwand verlaufen.
Der Lichtstrahl ist [mm] U^{\perp}.
[/mm]
Jetzt projizieren wir den Besenstil v.
Was passiert? Liegt der Besenstil parallel zur Leinwand, so ist das Schattenbild, welches wir erhalten, ein "echtes Abbild" des Besens.
Liegt der Besenstil senkrecht zur Leinwand, so ist sein Bild ein Punkt, der Nullvektor.
Den schräg liegenden Besen hatten wir ja vor ein paar Tagen schon im Zahlenbeispiel.
Bild: das Bild der Projektion ist U, der Raum, auf welchen projiziert wird. Alle Schatten liegen auf der Leinwand, und zu jedem Schatten kannst Du einen Vektor finden.
Kern: welche Vektoren erscheinen auf der Leinwand als Punkte? Die, die senkrecht zur Leinwand sind.
Soweit dazu.
Wenn gesagt wird, daß Du die Matrix der orthogonalen Projektion auf [mm] U:=<\vektor{1\\2\\3}, \vektor{4\\5\\6}> [/mm] bzgl einer "geeigneten Basis" aufstellen sollst, dann solltest Du dies können, ebenso bzgl der Standardbasis.
Nun zur eigentlich gerade bearbeiteten Aufgabe.
>
> Zu zeigen:
> [mm]Bild(E-P)=U^{\perp}[/mm]
>
[mm] "\subseteq":
[/mm]
> Sei v[mm]\in[/mm][mm]Bild(E-P)[/mm]
>
> Dann folgt: [mm](E-P)v[/mm]´=v
>
> Jetzte wende ich es auf P an:
Hm. Wahrsceinlich ist deutsch nicht Deine Muttersprache, dann ist es natürlich schwierig, präzise zu formulieren.
Du wendest es nicht auf P an, sondern Du wendest P darauf an:
> Pv´-P^2v´=v, da gilf [mm]P^2=P[/mm]
Gut gemeint - aaaaber: Du kannst doch P nicht einseitig anwenden!
Wenn Du es auf beiden Seiten tust, entsteht auch eine gescheite Argumentation.
Mach mal!
> 2. Sei [mm]v\in U^{\perp}[/mm]
>
> [#000000](E-P)v=v-Pv=[/#000000]???
Wo kommen eigentlich diese Hieroglyphen her? Durch's Zitieren?
>
> ich dachte dass das dann Null werden muss,
Sag genau, was Null wird!
Bedenke: v ist senkrecht zum Raum, auf welchen projiziert wird.
Was ist also Pv? (Bedenke, das anschauliche Beispiel oben. Bedenke auch, welches die Voraussetzungen sind, welche wir verwenden dürfen.)
> Pv muss ja
> null werden,
Ah! Hier steht's ja!
Genau: Pv=0. (Warum ist das [mm] so?)\red{(\*)}
[/mm]
> demenstprechend muss v selbst null sein.
Nein. Wie kommst Du denn darauf?
(Denk an den Besenstil. Der ist kein Punkt. Und seine Projektion ist trotzdem einer.)
[Unabhängig von dieser Aufgabe, aber im Hinblick auf die Klausurvorbereitung bedenkenswert: was sind denn das für lineare Abbildungen, bei denen nur die Null auf die Null abgebildet wird? Sie haben eine besondere Eigenschaft.]
> demenstprechend ist 0[mm]\in Bild(P-E)[/mm]
Diese Aussage ist jetzt nicht so der Knaller:
das Bild einer jeglichen linearen Abbildung ist ein Vektorraum, und es gibt einen Vektor, der in jedem VR einthalten ist...
> und das war doch zu
> zeigen. Dann ahben wir inshgesammt
> [mm]U^{\perp}\subseteq[/mm] Bild(E-P)
Oh. Dir ist nicht klar, was man zeigen muß, wenn man [mm] $U^{\perp}\subseteq$ [/mm] Bild(E-P) zeigen will. Dies:
zu jedem [mm] v\in U^{\perp} [/mm] gibt es ein w aus dem Urbildraum mit (E-P)w=v.
Jetzt ist ein guter Zeitpunkt dafür, bei [mm] \red{(\*)} [/mm] weiterzumachen:
Du hattest [mm] v\in U^{\perp}.
[/mm]
Es ist [mm] (E-P)v=v-Pv=v-0=\green{v}.
[/mm]
In welcher Menge liegt also [mm] \green{v}?
[/mm]
Gruß v. Angela
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