Orthogonale Projektion eines < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe eine Verständnisfrage:
Was ist die orthogonale Projektion eines Vektors w auf den Unterraum [mm] span(v_1,v_2)?
[/mm]
Liebe Grüße
sommer![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Fr 12.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe eine Verständnisfrage:
> Was ist die orthogonale Projektion eines Vektors w auf
> den Unterraum [mm]span(v_1,v_2)?[/mm]
>
>
> Liebe Grüße
> sommer
Ich gehe davon aus, dass sich die Aufgabe (Frage) auf eine endlichdim. euklidischen oder unitären Vektorraum V bezieht.
Dann gilt V = [mm] span(v_1,v_2) \oplus (span(v_1,v_2))^{\perp}
[/mm]
wobei [mm] (span(v_1,v_2))^{\perp} [/mm] das othogonale Komplement von [mm] span(v_1,v_2) [/mm] ist.
Die orthogonale Projektion auf [mm] span(v_1,v_2) [/mm] ist diejenige (eindeutig bestimmte) lineare Abb.
P: V --> V
mit den folgenden Eigenschaften:
Px = x für x [mm] \in span(v_1,v_2) [/mm] und Py = 0 für y [mm] \in (span(v_1,v_2))^{\perp}.
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo,
danke für deine Antwort! Aber dabei geht ja mein Vektor w unter.
Ich habe eine Aufgabe mit [mm] U=span(v_1,v_2) [/mm] mit [mm] v_1= [/mm] (1,0,2) und [mm] v_2 [/mm] = (3,2,1).
w=(4,-1,3).
w ist also nicht in U.
Wie spielt dabei also der Vektor w eine Rolle?
Liebe Grüße
sommer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Fr 12.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort! Aber dabei geht ja mein Vektor w
> unter.
>
> Ich habe eine Aufgabe mit [mm]U=span(v_1,v_2)[/mm] mit [mm]v_1=[/mm] (1,0,2)
> und [mm]v_2[/mm] = (3,2,1).
> w=(4,-1,3).
>
> w ist also nicht in U.
>
> Wie spielt dabei also der Vektor w eine Rolle?
>
>
> Liebe Grüße
> sommer
Berechne zunächst einen Vektor der auf [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] senkrecht steht, z.B. [mm] v_3 [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ 5 \\ 2 }. [/mm] Dann ist [mm] U^{\perp} [/mm] = [mm] span(v_3)
[/mm]
Also [mm] R^3 [/mm] = [mm] U\oplus U^{\perp}
[/mm]
w ist dann eine Linearkombination aus [mm] v_1, v_2, [/mm] und [mm] v_3, [/mm] also
w = [mm] \alpha_1 v_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 v_2+ \alpha_3 v_3
[/mm]
Die Alphas berechne bitte selbst ! Sei P die obige orthogonale Projektion.
Dann (s.o.) Pw = [mm] \alpha_1 Pv_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 Pv_2+ \alpha_3 Pv_3 [/mm] = [mm] \alpha_1 v_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 v_2
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo,
danke für deine ausführliche Antwort! Natürlich will ich die Aufgabe selber rechnen. Ich habe mich schlecht ausgedrückt, meine Frage ging eher in die Richtung was ich mir allgemein unter so einer orthogonalen Projektion vorzustellen haben, hmm, vielleicht anschaulicher:
Also z.B. [mm] U^\perp [/mm] enthält doch die Vektoren die orthogonal auf U stehen. w liegt sowohl in U als auch in [mm] U^\perp. [/mm] Aber was bewirkt die "Verschiebung"?
Liebe Grüße
sommer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Fr 12.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> danke für deine ausführliche Antwort! Natürlich will ich
> die Aufgabe selber rechnen. Ich habe mich schlecht
> ausgedrückt, meine Frage ging eher in die Richtung was ich
> mir allgemein unter so einer orthogonalen Projektion
> vorzustellen haben, hmm, vielleicht anschaulicher:
> Also z.B. [mm]U^\perp[/mm] enthält doch die Vektoren die orthogonal
> auf U stehen. w liegt sowohl in U als auch in [mm]U^\perp.[/mm]
Nein das stimmt nicht!
Es ex eindeutig bestimmte u [mm] \in [/mm] U und v [mm] \in U^\perp [/mm] mit w = u+v
Die othogonale Proj. P bewirkt dann folgendes:
Pw = u
Nebenbei: obiges gilt für jedes w [mm] \in R^3 [/mm] (damit hast Du die def. der orth. Projektion von [mm] R^3 [/mm] auf U)
FRED
>Aber
> was bewirkt die "Verschiebung"?
>
>
> Liebe Grüße
> sommer
|
|
|
| |
|
Hallo,
die orthogonale Projektion bildet also alle Vektoren, die senkrecht zu U sind auf 0 ab, bildet den Vektor w auf U ab und alle Vektoren in U bleiben unverändert.
Liebe Grüße und ein schönes Wochenende,
sommer
|
|
|
| |
|
> die orthogonale Projektion bildet also alle Vektoren, die
> senkrecht zu U sind auf 0 ab, bildet den Vektor w auf U ab
> und alle Vektoren in U bleiben unverändert.
Hallo,
wenn Du freds Buchstaben meinst, stimmt das nicht.
Er schrieb zur Projektion eines Vektors w auf einen Unterraum U von V:
"Es ex eindeutig bestimmte u $ [mm] \in [/mm] $ U und v $ [mm] \in U^\perp [/mm] $ mit w = u+v
Die othogonale Proj. P bewirkt dann folgendes:
Pw = u"
Was passiert bei der orthogonalen Projektion?
Alle Vektoren aus U bleiben unverändert, und alle Vektoren aus [mm] U^\perp [/mm] werden auf die Null abgebildet.
(Denk an den Strahl des Diaprojektors und die Leinwand. Die Stricknadel, die Du senkrecht zur Leinwand hältst, wird zum Punkt, parallel bleib sie unverändert und irgendwie schräg gehalten verkürzt sie sich.)
Bei Deiner Aufgabe hattest Du $ [mm] U=span(v_1,v_2) [/mm] $ mit $ [mm] v_1= [/mm] $ [mm] \vektor{1\\0\\2}und [/mm] $ [mm] v_2 [/mm] $ = [mm] \vektor{3\\2\\1}.
[/mm]
Es würde bereits festgestellt, daß die orthogonale Ergänzung dieses Raumes [mm] U^\perp [/mm] von $ [mm] v_3 [/mm] $ = $ [mm] \vektor{-4 \\ 5 \\ 2 } [/mm] aufgespannt wird.
Wenn wir mit P die Projektion auf U bezeichen, ist diese eindeutig bestimmt durch
[mm] P(v_1):=v_1,
[/mm]
[mm] P(v_2):=v_2
[/mm]
[mm] P(v_3):=0
[/mm]
Der Vektor [mm] w=\vektor{4 \\-1\\3} [/mm] ist nun der, der projeziert werden soll. Zerlege ihn in eine Summe aus Vektoren aus U und aus [mm] U^\perp.
[/mm]
Wenn Du nun auf w die Projektion anwendest, erhältst Du seinen in U liegenden Anteil.
Da Du w selbst rechnen willst, noch ein anderes Beispiel.
Wir nehmen [mm] w_1=\vektor\{-5\\19\\10}=1v_1+2*v_2+3*v_3.
[/mm]
[mm] P(w_1)=P(1v_1+2*v_2+3*v_3)=1v_1+2*v_2=\vektor{7\\4\\4}
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
danke für deine Antwort!
Ich glaube solangsam verstehe ich was die orthogonale Projektion ist.
[mm] \lambda_1\vektor{1 \\0\\2} [/mm] + [mm] \lambda_2\vektor{3 \\2\\1} [/mm] + [mm] \lambda_3\vektor{-4 \\5\\2} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\-1\\3} [/mm] <=>
[mm] 1\bruch{2}{3}\vektor{1 \\0\\2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3 }\vektor{3 \\2\\1} -\bruch{1}{3} \vektor{-4 \\5\\2} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\-1\\3} [/mm]
=>
P(w) = [mm] P(1\bruch{2}{3} *v_1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3 }v_2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*v_3)
[/mm]
= [mm] P(1\bruch{2}{3} *v_1) [/mm] + P( [mm] \bruch{1}{3 }v_2) [/mm] -P( [mm] \bruch{1}{3}*v_3)
[/mm]
= [mm] 1\bruch{2}{3} *v_1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3 }v_2 [/mm]
[mm] =1\bruch{2}{3} *\vektor{1 \\0\\2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3 }\vektor{3 \\2\\1} [/mm]
= [mm] \vektor{1\bruch{2}{3} \\0\\3\bruch{2}{3}} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\\bruch{2}{3}\\\bruch{1}{3}}
[/mm]
= [mm] \vektor{2\bruch{2}{3} \\\bruch{2}{3}\\3\bruch{2}{3}}
[/mm]
Liebe Grüße
sommer
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort!
> Ich glaube solangsam verstehe ich was die orthogonale
> Projektion ist.
Hallo,
ja, jetzt hast Du's verstanden.
Ich merke mir das immer mit dem Diaprojektor.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
