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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:24 Fr 18.06.2010 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | Man bestimme die orthogonalen Trajektorien der folgenden Kurvenfamilie:
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 2cx
Musterlösung: [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - 2cy = 0 |
Hallo!
Ich probiere gerade die obige Aufgabe zu lösen, jedoch komme ich nie auf die Musterlösung.
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 2cx
nach x ableiten
[mm] \bruch{d}{dx} (x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] 2cx
[mm] \bruch{d}{dx} x^2 [/mm] + [mm] \bruch{d}{dx} y^2 [/mm] = 2c
Kettenregel für y
2x + 2yy' = 2c
x + yy' = c
von der ausgangsgleichung weiß man c = [mm] \bruch{x^2 + y^2}{2x}
[/mm]
nun noch substituieren
x + yy' = [mm] \bruch{x^2 + y^2}{2x}
[/mm]
yy' = [mm] \bruch{x^2 + y^2}{2x} [/mm] - x
y' = [mm] \bruch{x^2 + y^2}{2xy} [/mm] - [mm] \bruch{x}{y}
[/mm]
y' = [mm] \bruch{x^2y + y^3 - 2 x^2 y}{2xy}
[/mm]
y' = [mm] \bruch{-x^2 + y^2}{2x}
[/mm]
[mm] y_{1}' [/mm] = [mm] \bruch{-x^2 + y^2}{2x}
[/mm]
[mm] y_{2}' [/mm] = [mm] -\bruch{1}{y_{1}'}
[/mm]
[mm] y_{2}' [/mm] = [mm] -\bruch{1}{\bruch{-x^2 + y^2}{2x}}
[/mm]
[mm] y_{2}' [/mm] = - [mm] \bruch{2x}{y^2 - x^2}
[/mm]
Jetzt müsste man eigentlich die Methode der Separation der Variablen anwenden, aber hier stehe ich an
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = - [mm] \bruch{2x}{y^2 - x^2}
[/mm]
[mm] (y^2 [/mm] - [mm] x^2) \bruch{dy}{dx} [/mm] = - 2x
[mm] (x^2 [/mm] - [mm] y^2) [/mm] dy = 2x dx
da ich hier einen gemischten term habe
jemand eine idee? vielen dank!
lg
Babapapa
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Hallo babapapa,
> Man bestimme die orthogonalen Trajektorien der folgenden
> Kurvenfamilie:
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 2cx
> Musterlösung: [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] - 2cy = 0
> Hallo!
>
> Ich probiere gerade die obige Aufgabe zu lösen, jedoch
> komme ich nie auf die Musterlösung.
>
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 2cx
> nach x ableiten
> [mm]\bruch{d}{dx} (x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm] = [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] 2cx
> [mm]\bruch{d}{dx} x^2[/mm] + [mm]\bruch{d}{dx} y^2[/mm] = 2c
> Kettenregel für y
> 2x + 2yy' = 2c
> x + yy' = c
> von der ausgangsgleichung weiß man c = [mm]\bruch{x^2 + y^2}{2x}[/mm]
>
> nun noch substituieren
> x + yy' = [mm]\bruch{x^2 + y^2}{2x}[/mm]
> yy' = [mm]\bruch{x^2 + y^2}{2x}[/mm]
> - x
> y' = [mm]\bruch{x^2 + y^2}{2xy}[/mm] - [mm]\bruch{x}{y}[/mm]
> y' = [mm]\bruch{x^2y + y^3 - 2 x^2 y}{2xy}[/mm]
> y' = [mm]\bruch{-x^2 + y^2}{2x}[/mm]
>
> [mm]y_{1}'[/mm] = [mm]\bruch{-x^2 + y^2}{2x}[/mm]
> [mm]y_{2}'[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{y_{1}'}[/mm]
> [mm]y_{2}'[/mm] = [mm]-\bruch{1}{\bruch{-x^2 + y^2}{2x}}[/mm]
> [mm]y_{2}'[/mm] = -
> [mm]\bruch{2x}{y^2 - x^2}[/mm]
>
> Jetzt müsste man eigentlich die Methode der Separation der
> Variablen anwenden, aber hier stehe ich an
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = - [mm]\bruch{2x}{y^2 - x^2}[/mm]
> [mm](y^2[/mm] - [mm]x^2) \bruch{dy}{dx}[/mm]
> = - 2x
> [mm](x^2[/mm] - [mm]y^2)[/mm] dy = 2x dx
>
> da ich hier einen gemischten term habe
>
> jemand eine idee? vielen dank!
Löse zuerst die homogene DGL
[mm]yy' = \bruch{ y^2}{2x}[/mm]
Diese Lösung variierst Du nun (Konstanten werden von x abhängig gemacht),
um die Lösung der inhomogenen DGL zu finden:
[mm]yy' = \bruch{x^2 + y^2}{2x}[/mm]
>
> lg
> Babapapa
>
Gruss
MathePower
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