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| Aufgabe | Für t [mm] \in \IR [/mm] \ {0} sind die Funktionen [mm] f_{t} [/mm] gegeben durch [mm] f_{t}(x)=t-\bruch{2t}{x²}. [/mm] Der Graph von [mm] f_{t} [/mm] sei [mm] K_{t}.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass alle Graphen [mm] K_{t} [/mm] die x-Achse in denselben Punkten [mm] N_{1} [/mm] und [mm] N_{2} [/mm] schneiden.
b) Für welchen Wert von t ist die Tangente an [mm] K_{t} [/mm] im Punkt [mm] N_{2} [/mm] (mit [mm] x_{N2}>0) [/mm] parallel zur Geraden mit der Gleichung y=x+1?
c)Welche Beziehung zwischen [mm] t_{1} [/mm] und [mm] t_{2} [/mm] muss erfüllt sein, damit sich [mm] K_{t}__{1} [/mm] und [mm] K_{t}__{2} [/mm] im Punkt [mm] N_{2} [/mm] orthogonal schneiden? Schneiden sie sich dann auch im Punkt [mm] N_{1} [/mm] orthogonal? |
Hallo Zusammen,
a) [mm] f_{t}(x) [/mm] = 0 hat die beiden (von t unabhängigen) Lösungen - [mm] \wurzel{2} [/mm] und [mm] \wurzel{2}. [/mm] Also: [mm] N_{1}(-\wurzel{2}/0); N_{2}(\wurzel{2}/0).
[/mm]
b) f'_{t}(x) = [mm] \bruch{4t}{x³}; f'_{t}(\wurzel{2})= \wurzel{2}*t; [/mm] Tangente ist parallel zur Geraden mit der Gleichung y = x + 1 für t = [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2}.
[/mm]
c) [mm] K_{t}__{1} [/mm] und [mm] K_{t}__{2} [/mm] sind orthogonal in [mm] N_{2}, [/mm] wenn [mm] t_{1} [/mm] * [mm] t_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] ist.
a) und b) ist mir verständlich, ich habe es nur der Nachvollziehbarkeit wegen aufgeführt. Was ich nicht verstehe ist c). Wie kommt man da auf die [mm] -\bruch{1}{2}? [/mm] Was heißt überhaupt orthogonal?
Bitte um Hilfe
matherein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Di 02.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo matherein!
"orthogonal" bedeutet "senkrecht schneiden".
Zwei Geraden (im [mm] $\IR^2$ [/mm] ) schneiden sich genau dann senkrecht, wenn für ihre beiden Steigungen [mm] $m_1$ [/mm] und [mm] $m_2$ [/mm] gilt:
[mm] $$m_1*m_2 [/mm] \ = \ -1$$
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
das weiß ich auch. Aber wie bringt mich das in der Aufgabe weiter?
Wie muss ich rechnen? Ich blicke da leider noch nicht richtig durch!
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Hallo matherein,
> Hallo Loddar,
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> das weiß ich auch. Aber wie bringt mich das in der Aufgabe
> weiter?
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> Wie muss ich rechnen? Ich blicke da leider noch nicht
> richtig durch!
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Bilde die Ableitungen von [mm]K_{t_{1}}[/mm] und [mm]K_{t_{2}}[/mm] im Punkt [mm]N_{2}[/mm].
Multipliziere dann diese Ableitungen miteinander und setze sie gleich mit der Orthonalitätsbedingung in [mm]\IR^{2}[/mm].
Daraus erhältst Du dann eine Bedingung an [mm]t_{1}, \ t_{2}[/mm].
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Mi 03.06.2009 | | Autor: | matherein |
Danke für die Erklärung, MathePower.
Mit freundlichem Gruß
matherein
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