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| Aufgabe | Betrachten Sie den euklidischen [mm] \IR-Vektorraum \IR^{3} [/mm] mit dem Standartskalarprodukt <v,w> = [mm] v^{T}w [/mm] und den Unterraum
[mm] U:=\{\vektor{u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} } \in \IR^{3} | u_{1} + u_{2} = 0 \}
[/mm]
i) Bestimmen Sie [mm] U^{\perp} [/mm] . |
Hallöchen alle zusammen :)
Ich habe hier mal wieder eine Aufgabe bei der ich nicht voran komme^^
Bei dieser bin ich mir schon bei dem ersten Aufgabenteil sehr unsicher.
Meine Idee ist:
Um diese Aufgabe zu lösen muss ich alle möglichen Vektoren berechnen, welche <u,v>=0 erfüllen. Denn dann sind diese alle orthogonal zueinander.
Wobei hier u [mm] \in [/mm] U und v [mm] \in U^{\perp} [/mm] gemeint sind.
So weit ich das sehe ist U= span [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]
heißt also diese beiden Vektoren spannen den Raum U auf.
Nun nehme ich mir einen Vektor welcher aus [mm] U^{\perp} [/mm] sein soll.
Dieser muss nun orthogonal zu den beiden Vektoren aus U sein.
Dabei entsteht folgendes Gleichungssystem (per Einsetzen in das Skalarprodukt)
[mm] 1*v_{1} [/mm] + - [mm] v_{2}= [/mm] 0
[mm] 1*v_{3}= [/mm] 0
Nun schlussfolger ich das [mm] U^{\perp} [/mm] = span [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] .
Nun muss ich von euch wissen ob das alles so richtig ist oder kompletter quatsch^^ Denn die folgenden Aufgabenteile bauen alle auf diesem auf.
ich danke schon einmal herzlichst für jede Hilfe und Kritik
Ich würde diesen thread auch gern für spätere Aufgabeteile nutzen da diese wie gesagt darauf aufbauen :)
mfg der Iwan^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Moin Iwan,
> Betrachten Sie den euklidischen [mm]\IR-Vektorraum \IR^{3}[/mm] mit
> dem Standartskalarprodukt <v,w> = [mm]v^{T}w[/mm] und den Unterraum
>
> [mm]U:=\{\vektor{u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} } \in \IR^{3} | u_{1} + u_{2} = 0 \}[/mm]
>
> i) Bestimmen Sie [mm]U^{\perp}[/mm] .
> Hallöchen alle zusammen :)
>
> Ich habe hier mal wieder eine Aufgabe bei der ich nicht
> voran komme^^
> Bei dieser bin ich mir schon bei dem ersten Aufgabenteil
> sehr unsicher.
>
> Meine Idee ist:
> Um diese Aufgabe zu lösen muss ich alle möglichen
> Vektoren berechnen, welche <u,v>=0 erfüllen. Denn dann
> sind diese alle orthogonal zueinander.
> Wobei hier u [mm]\in[/mm] U und v [mm]\in U^{\perp}[/mm] gemeint sind.
>
> So weit ich das sehe ist U= span [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> heißt also diese beiden Vektoren spannen den Raum U auf.
>
> Nun nehme ich mir einen Vektor welcher aus [mm]U^{\perp}[/mm] sein
> soll.
> Dieser muss nun orthogonal zu den beiden Vektoren aus U
> sein.
>
> Dabei entsteht folgendes Gleichungssystem (per Einsetzen in
> das Skalarprodukt)
>
> [mm]1*v_{1}[/mm] + - [mm]v_{2}=[/mm] 0
> [mm]1*v_{3}=[/mm] 0
>
> Nun schlussfolger ich das [mm]U^{\perp}[/mm] = span [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> .
>
> Nun muss ich von euch wissen ob das alles so richtig ist
> oder kompletter quatsch^^ Denn die folgenden Aufgabenteile
> bauen alle auf diesem auf.
Alles richtig!
>
> ich danke schon einmal herzlichst für jede Hilfe und
> Kritik
>
> Ich würde diesen thread auch gern für spätere
> Aufgabeteile nutzen da diese wie gesagt darauf aufbauen :)
>
> mfg der Iwan^^
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
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| Aufgabe | iv.) Betrachten sie die Norm [mm] \parallel v\parallel_{2} [/mm] := [mm] \wurzel[2]{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}} [/mm] für [ [mm] v_{1} v_{2} v_{3} ]^{T}
[/mm]
Bestimmen Sie zu jedem Vektor v [mm] \in [/mm] V ein [mm] \overline{u} \in [/mm] U, so dass
[mm] \parallel [/mm] v - [mm] \overline{u}\parallel_{2} [/mm] = min(u [mm] \in [/mm] U) [mm] \parallel [/mm] v - [mm] u\parallel_{2} [/mm] |
danke für die schnelle antwort :)
Ich habe inzwischen einzelne Aufgabenteile durchgerechnet und bin nun bei der obigen Aufgabe iv) nicht weiter gekommen.
Naja besser gesagt habe ich überhaupt keine Idee was ich genau zeigen muss.
Wäre sehr nett wenn mir jemand einen Tipp geben könnte :D.
danke schonmal wieder im vorraus ( ihr seid super :) )
Wie immer mfg der iwan^^
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> iv.) Betrachten sie die Norm [mm]\parallel v\parallel_{2}[/mm] :=
> [mm]\wurzel[2]{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}[/mm] für [ [mm]v_{1} v_{2} v_{3} ]^{T}[/mm]
>
> Bestimmen Sie zu jedem Vektor v [mm]\in[/mm] V ein [mm]\overline{u} \in[/mm]
> U, so dass
>
> [mm]\parallel[/mm] v - [mm]\overline{u}\parallel_{2}[/mm] = min(u [mm]\in[/mm] U)[mm]\parallel[/mm] v - [mm]u\parallel_{2}[/mm]
Hallo,
es ist [mm] min(u\in U)\parallel$ [/mm] v - [mm] $u\parallel_{2}$ [/mm]
der Abstand des Punktes mit dem Ortsvektor v von der Ebene U.
Du sollst nun ein [mm] \overline{u}\in [/mm] U so angeben, daß die Länge des Differenzvektors gerade der Abstand ist.
Stichwort: Lotfußpunkt...
Gruß v. Angela
>
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mmh ok danke erstmal.
Leider hatten wir den Begriff des Lotfusspunkts noch gar nicht.
Ich habe nochmal in meinen Aufzeichnungen gekramt und gefunden
unter Orthogonale Projektion auf U
[mm] \parallel [/mm] v-p(v) [mm] \parallel [/mm] = min(u [mm] \in [/mm] U [mm] \parallel [/mm] (v-u) [mm] \parallel [/mm]
wobei die Gleichheit nur für u=p(v) gilt.
p(v) ist hierbei die Lineare Abbildung V -> V
mit i) p(v) [mm] \in [/mm] U für alle v [mm] \in [/mm] V
ii) v-p(v) [mm] \perp [/mm] U für alle v [mm] \in [/mm] V
wenn man nun mein [mm] \overline{u} [/mm] gerade diese Abbildung ist
dann ist u := [mm] \lambda_{1} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_{2} \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] denn das sind gerade die beiden Vektoren die U aufspannen.
v kann man meine ich auch schreiben als [mm] \mu_{1} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu_{2} \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \mu_{3} \vektor{1\\1\\ 0 }
[/mm]
Bevor ich weitermache ist das alles so legitim?
mfg der Iwan
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Hallo,
ja, Du kannst das mit der orthogonalen Projektion auf U machen.
Schreibe den Vektor [mm] v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren von U und [mm] U^{\perp} [/mm] und projiziere dann orthogonal.
(Weniger vornehm gesagt: laß die Komponente in Richung [mm] U^{\perp} [/mm] einfach weg.)
Gruß v. Angela
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ok also wenn ich das jetzt richtig verstehe :
ist [mm] \parallel [/mm] v - [mm] \overline{u} \parallel [/mm] = [mm] \parallel \vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}} [/mm] - [mm] \vektor{ \lambda_{1} \\ - \lambda_{1} \\ \lambda_{2} } \parallel [/mm] also gleich nach Eigenschaften der Norm [mm] \parallel \vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3} } [/mm] - [mm] \vektor{ 1 \\ - 1 \\ 1 } \parallel
[/mm]
also ist letztendlich [mm] \overline{u} [/mm] = [mm] \vektor{ 1 \\ - 1 \\ 1 }
[/mm]
stimmt doch oder?
mfg der iwan :)
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> ok also wenn ich das jetzt richtig verstehe :
>
> ist [mm]\parallel[/mm] v - [mm]\overline{u} \parallel[/mm] = [mm]\parallel \vektor{v_{1}\\
v_{2}\\
v_{3}}[/mm]
> - [mm]\vektor{ \lambda_{1} \\
- \lambda_{1} \\
\lambda_{2} } \parallel[/mm]
> also gleich nach Eigenschaften der Norm [mm]\parallel \vektor{v_{1}\\
v_{2}\\
v_{3} }[/mm] - [mm]\vektor{ 1 \\
- 1 \\
1 } \parallel[/mm]
>
> also ist letztendlich [mm]\overline{u}[/mm] = [mm]\vektor{ 1 \\
- 1 \\
1 }[/mm]
>
> stimmt doch oder?
Hallo,
ich fürchte: nein.
Jedenfalls hast Du mich abgehängt.
Wie hast Du denn [mm] \vektor{v_1\\v_2\\v_3} [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren von U und [mm] U^{\perp} [/mm] geschrieben?
Du erzählst oben, daß der Vektor [mm] $\overline{u}$ [/mm] = [mm] $\vektor{ 1 \\ - 1 \\ 1 }$ [/mm] der Vektor aus U ist, der von jedem beliebigen v den geringsten Abstand hat.
Das kommt mir doch etwas seltsam vor...
Ich würde denken, daß [mm] \overline{u} [/mm] irgendwie von V abhängt...
Gruß v. Angela
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ok nochmal von vorne^^
wir vergessen einfach mal schnell was ich geschrieben habe.
So ich fang dann mal an
also v kann man ja schreiben als Linearkombination von U + [mm] U^\perp
[/mm]
u= [mm] \mu_{1} \vektor{1\\-1\\0} +\mu_{2} \vektor{0\\0\\1}
[/mm]
[mm] \overline{u} [/mm] = [mm] \lambda_{1} \vektor{1\\1\\0}
[/mm]
also v= [mm] \mu_{1} \vektor{1\\-1\\0} +\mu_{2} \vektor{0\\0\\1} [/mm] + [mm] \lambda_{1} \vektor{1\\1\\0}
[/mm]
das stimmt doch seweit oder?
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Hallo,
und nun müßtest Du mal die Faktoren vor den Vektoren bestimmen.
Sie werden ja wohl von [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] abhängen.
Gruß v. Angela
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ok.
das müssten dann nach meiner Rechnung
[mm] \lambda_{1}=\bruch{v_{1}+v{2}}{2}
[/mm]
[mm] \mu_{1} =\bruch{v_{1}-v{2}}{2}
[/mm]
[mm] \mu_{2}= v_{3}
[/mm]
dann sind sie natürlich von v abhängig^^
stimmen die soweit?
mfg
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> ok.
>
> das müssten dann nach meiner Rechnung
>
> [mm]\lambda_{1}=\bruch{v_{1}+v{2}}{2}[/mm]
> [mm]\mu_{1} =\bruch{v_{1}-v{2}}{2}[/mm]
> [mm]\mu_{2}= v_{3}[/mm]
>
> dann sind sie natürlich von v abhängig^^
>
> stimmen die soweit?
Hallo,
jetzt mach nicht wie 'nen Säugling: ob sie stimmen, kannst Du doch auch selbst kontrollieren.
(Sie stimmen.)
Gruß v. Angela
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danke erstmal :)
Ok jetzt haben wir also v also summe von Linearkombinationen bestimmt.
Wie müsste ich nun die orthogonale Projektion ausführen?
Ich meine wir müssen doch jetzt ein [mm] \overline{u} [/mm] finden welches erfüllt das
v- [mm] \overline{u} \in U^{\perp} [/mm] also im span [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] liegt, achja und [mm] \overline{u} \in [/mm] U muss gelten.
aber wie soll ich das anfangen( über skalarprodukt = 0 ? )
mfg der Iwan
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> Wie müsste ich nun die orthogonale Projektion ausführen?
>
> Ich meine wir müssen doch jetzt ein [mm]\overline{u}[/mm] finden
> welches erfüllt das
> v- [mm]\overline{u} \in U^{\perp}[/mm] also im span [mm]\vektor{1\\
1\\
0}[/mm]
> liegt, achja und [mm]\overline{u} \in[/mm] U muss gelten.
Hallo,
Du hattest mir doch vorhin selbst geschrieben, daß das gesuchte [mm] \overline{u} [/mm] die orthogonale Projektion von v auf U ist.
Wie das geht, hatte ich Dir zuvor schon verraten: die Komponente in Richtung [mm] U^{\perp} [/mm] fällt weg.
Hast Du v=$ [mm] \mu_{1} \vektor{1\\-1\\0} +\mu_{2} \vektor{0\\0\\1} [/mm] $ + $ [mm] \lambda_{1} \vektor{1\\1\\0} [/mm] $,
so ist [mm] p_U(v)=\mu_{1} \vektor{1\\-1\\0} +\mu_{2} \vektor{0\\0\\1} [/mm] $.
Was bedeutet das für Dein [mm] p_U(v)?
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallöchen mal wieder ^^
ja also ich würde sagen [mm] p_{U}(v) [/mm] ist nun wieder aus U und damit orthogonal zu allen vektoren aus [mm] U^{\perp}.
[/mm]
oder habe ich etwas wichtiges übersehen. Ich hoffe das ich langsam mal dahinter steige ^^
mfg der Iwan :)
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Ich danke nochmmals für die Hilfe^^
Ok ich hätte noch eine Frage zu diesem Ergebnis :
Wo benutzen wir eigentlich das hier gerade die Norm [mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel_{2}
[/mm]
gemeint ist ?
Oder ist das etwa egal für die Berechnung von [mm] \overline{u}?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Di 17.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich danke nochmmals für die Hilfe^^
>
> Ok ich hätte noch eine Frage zu diesem Ergebnis :
>
> Wo benutzen wir eigentlich das hier gerade die Norm
> [mm]\parallel[/mm] v [mm]\parallel_{2}[/mm]
> gemeint ist ?
Es ist [mm]\parallel[/mm] v [mm]\parallel_{2}^2= [/mm]
>
> Oder ist das etwa egal für die Berechnung von
> [mm]\overline{u}?[/mm]
nein.
FRED
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