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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Orthogonales Komplement
Orthogonales Komplement < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Orthogonales Komplement: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 So 03.07.2005
Autor: rscharrer

Hallo,

vielleicht kann man jemand bei folgender Aufgabenstellung helfen.

Ich soll das orthogonale Komplement bestimmen.
Angegeben ist aber nur folgende Komponente:

U=[ [mm] \vektor{1 \\ 1\\1+i}] [/mm] in V =  [mm] \IC^3 [/mm]

Die Definiton über das Skalarprodukt = 0 kenne ich und ich glaube ich brauche
das Vektorprodukt dazu, aber wie fange ich hierbei an oder wie gehe ich hierbei vor?

Vielen Dank im voraus.

---
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Orthogonales Komplement: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 So 03.07.2005
Autor: taura

Hallo!

> Ich soll das orthogonale Komplement bestimmen.
>  Angegeben ist aber nur folgende Komponente:
>  
> U=[ [mm]\vektor{1 \\ 1\\1+i}][/mm] in V =  [mm]\IC^3[/mm]

Ich gehe mal davon aus, dass das orthogonale Komplement bzgl. des Standartskalarproduktes gesucht ist, oder? Und U ist der lineare Spann des Vektors [mm]\vektor{1 \\ 1\\1+i}[/mm]?
  
Wenn dem so ist, setz einfach mal die Definition des Skalarprodktes ein:
Es soll gelten: [mm]\left< \lambda \vektor{1 \\ 1\\1+i}\left| \vektor{a \\ b\\ c}\right>=0 \ \ \ f.a. \ \lambda \in \IC[/mm]
Also: [mm]\lambda \left< \vektor{1 \\ 1\\1+i}\left| \vektor{a \\ b\\ c}\right>=0 \ \ \ f.a. \ \lambda \in \IC[/mm]
Also auch insb. für [mm]\lambda \ne 0[/mm], d.h. [mm] \left< \vektor{1 \\ 1\\1+i}\left| \vektor{a \\ b\\ c}\right>=0[/mm]
Also: [mm]\bar a + \bar b + (1+i) \bar c =0[/mm]
Kommst du damit weiter?
Zur Kontrolle: Als Ergebnis erhält man die lineare Hülle der Vektoren [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{-1+i \\ 0 \\ 1}[/mm] (wenn ich mich nicht verrechnet hab). Versuch mal, ob du solbst den Rest schaffst, wenn nicht meld dich nochmal ok?

Bezug
                
Bezug
Orthogonales Komplement: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 So 03.07.2005
Autor: Matrizenheini

Vielen Dank.

Ich setze dann: b=1 und c=0
Somit erhalte ich den Vektor v1  [mm] \vektor{-1 \\ 1\\0 } [/mm]
und b=0 und c=1
Somit erhalte ich v2  [mm] \vektor{-1+i \\ \\1 } [/mm]
Diese beiden Vektoren
bilden dann span(v1,v2), also die lineare Hülle bzw. den Untervektorraum, welcher alle Vektoren enthält die orthogonal gegenüber dem angegebenem Vektor sind.
So richtig?

Bezug
                        
Bezug
Orthogonales Komplement: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:30 So 03.07.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Ja, das ist richtig! [hut]

Viele Grüße
Stefan

Bezug
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