Orthogonalisieren < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mi 25.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Wenden Sie das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren auf an
[mm] $c(t)=(6t,3t^2,t^3)$ [/mm] |
Hallo,
ich habe:
[mm] $c(t)=(6t,3t^2,t^3)$
[/mm]
[mm] $c'(t)=(6,6t,3t^2)$
[/mm]
$c''(t)=(0,6,6t)$
Es geht mir um folgendes:
$c'' - [mm] \frac{}{}\cdot [/mm] c'$ Also habe ich doch dann:
$c'' - [mm] \frac{}{}\cdot c'=(0,6,6t)-\frac{36t+18t^3}{(6+3t^2)^2} \cdot (6,6t,3t^2)$
[/mm]
kann ich nun den mittleren Teil mit 3 kürzen, um einfachere Zahlen zu bekommen?
Also:
$ c'' - [mm] \frac{}{}\cdot c'=(0,6,6t)-\frac{36t+18t^3}{(6+3t^2)^2} \cdot (6,6t,3t^2)=(0,6,6t)-\frac{12t+6t^3}{(2+t^2)^2} \cdot (6,6t,3t^2)$
[/mm]
Geht das?
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Mi 25.07.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo!
> Wenden Sie das Gram-Schmidtsche
> Orthogonalisierungsverfahren auf an
> [mm]c(t)=(6t,3t^2,t^3)[/mm]
Was du da machst, kommt mir komisch vor. Du hast doch hier keine Vektoren, sondern Polynome bzw. Monome gegeben - wenn ich das richtig sehe. Nun gut, vielleicht kenne ich die Variante des Gram-Schmidt-Verfahrens nicht, aber um die Richtigkeit geht es dir ja auch nicht...
> Hallo,
> ich habe:
>
> [mm]c(t)=(6t,3t^2,t^3)[/mm]
> [mm]c'(t)=(6,6t,3t^2)[/mm]
> [mm]c''(t)=(0,6,6t)[/mm]
>
> Es geht mir um folgendes:
>
> [mm]c'' - \frac{}{}\cdot c'[/mm] Also habe ich doch
> dann:
>
> [mm]c'' - \frac{}{}\cdot c'=(0,6,6t)-\frac{36t+18t^3}{(6+3t^2)^2} \cdot (6,6t,3t^2)[/mm]
>
> kann ich nun den mittleren Teil mit 3 kürzen, um
> einfachere Zahlen zu bekommen?
>
> Also:
> [mm]c'' - \frac{}{}\cdot c'=(0,6,6t)-\frac{36t+18t^3}{(6+3t^2)^2} \cdot (6,6t,3t^2)=(0,6,6t)-\frac{12t+6t^3}{(2+t^2)^2} \cdot (6,6t,3t^2)[/mm]
Das hat jetzt weniger mit dem Verfahren als mit Potenzregeln zu tun:
Es ist doch [mm](a*b)^2=a^2\cdot{}b^2[/mm]. Angewandt auf: [mm](6+3*t^2)^2=(3*(2+t^2))^2=3^2*(2+t^2)^2[/mm]. Nun kannst du dir die Frage, ob deine Rechnung stimmt, selbst beantworten! (Stimmt nicht)
> Geht das?
> Grüße
>
Gruß
barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 So 12.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
ich habe nun: $c'' - [mm] \frac{}{}\cdot c'=(0,6,6t)-\frac{36t+18t^3}{(6+3t^2)^2} \cdot (6,6t,3t^2) =(0,6,6t)-\frac{36t+18t^3}{9(t^2+2)^2} \cdot (6,6t,3t^2)$ [/mm]
Ist das so korrekt, wenn ich folgendes rechne?
[mm] (36t+18t^3) \cdot(6,6t,3t^2)) [/mm] = [mm] (6(36t+18t^3),6t(36t+18t^3),(3t^2(36t+18t^3))) =((6t+3t^3),(6+3t^2),t^2(12t+6t^3))
[/mm]
Gruß!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 So 12.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also ich habe nun
[mm] $\pmat{ 0 \\ 6 \\ 6t } [/mm] - [mm] \frac{2t}{(t^2+2)}\pmat{ 6 \\ 6t \\ 3t^2 } [/mm] = [mm] \frac{(-12t,6-12t^2,6t-6t^3)}{t^2+2}
[/mm]
In der Lösung steht jedoch:
[mm] \frac{-12t,12-6t^2,12t}{2+t^2}
[/mm]
Wo ist der Fehler?
Bitte um kurze Rückmeldung! Danke und Grüße
|
|
|
| |
|
Hi!
> Hallo,
>
> also ich habe nun
>
> [mm]$\pmat{ 0 \\
6 \\
6t }[/mm] - [mm]\frac{2t}{(t^2+2)}\pmat{ 6 \\
6t \\
3t^2 }[/mm]
> = [mm]\frac{(-12t,6-12t^2,6t-6t^3)}{t^2+2}[/mm]
>
> In der Lösung steht jedoch:
>
> [mm]\frac{-12t,12-6t^2,12t}{2+t^2}[/mm]
>
> Wo ist der Fehler?
Das kann man erst sagen, wenn du deine Rechnung hier vorstellst.
Ich kann nur soviel sagen, dass deine Musterlösung korrekt ist.
Anhand deines Ergebnisses vermute ich jedoch, dass du einfach vergessen hast, einen gemeinsamen Hauptnenner für beide Terme zu bilden.
Es gilt hier allgemein: [mm]a-\frac{b}{(c+d)}=\frac{a\cdot (c+d)-b}{(c+d)}[/mm]
Valerie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 So 12.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hi!
>
> > Hallo,
> >
> > also ich habe nun
> >
> > [mm]$\pmat{ 0 \\
6 \\
6t }[/mm] - [mm]\frac{2t}{(t^2+2)}\pmat{ 6 \\
6t \\
3t^2 }[/mm]
> > = [mm]\frac{(-12t,6-12t^2,6t-6t^3)}{t^2+2}[/mm]
> >
> > In der Lösung steht jedoch:
> >
> > [mm]\frac{-12t,12-6t^2,12t}{2+t^2}[/mm]
> >
> > Wo ist der Fehler?
>
> Das kann man erst sagen, wenn du deine Rechnung hier
> vorstellst.
> Ich kann nur soviel sagen, dass deine Musterlösung
> korrekt ist.
>
> Anhand deines Ergebnisses vermute ich jedoch, dass du
> einfach vergessen hast, einen gemeinsamen Hauptnenner für
> beide Terme zu bilden.
>
> Es gilt hier allgemein: [mm]a-\frac{b}{(c+d)}=\frac{a\cdot (c+d)-b}{(c+d)}[/mm]
>
> Valerie
>
Super! Hast recht, jetzt habe ich die Ergebnisse auch heraus. Jetzt habe ich: [mm] $\frac{(-12t,12-6t^2,12t)}{2+t^2}$. [/mm] Jetzt muss ich diesen Wert noch normalisieren. In der Lösung steht, dass man zum Normalisieren die ganzen positiven Faktoren weglassen kann. Es würde [mm] $(-2t,2-t^2,2t)$ [/mm] übrig bleiben. Ich gehe davon aus, dass man hier einfach mit $6$ gekürzt hat.
Richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Super! Hast recht, jetzt habe ich die Ergebnisse auch
> heraus. Jetzt habe ich: [mm]\frac{(-12t,12-6t^2,12t)}{2+t^2}[/mm].
> Jetzt muss ich diesen Wert noch normalisieren. In der
> Lösung steht, dass man zum Normalisieren die ganzen
> positiven Faktoren weglassen kann. Es würde [mm](-2t,2-t^2,2t)[/mm]
> übrig bleiben. Ich gehe davon aus, dass man hier einfach
> mit [mm]6[/mm] gekürzt hat.
Naja, deine Begründung ist natürlich sehr sehr wage.
Du kannst hier die Euklidische Norm verwenden:
[mm]||x||_2=\sqrt{\summe_{k=1}^{n} |x_k|^2[/mm]
Wende dies mal auf deinen Ergebnisvektor an.
Man geht beim orthonormalisieren normalerweise so vor, dass man den Ergebnisvektor durch die Norm teilt.
Valerie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 So 12.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also, ich habe nun:
$|| [mm] \frac{(-12t,12-6t^2,12t)}{2+t^2}||= \frac{144t^2+144-144t^2+36t^4+144t^2}{((2+t^2)^2)^\frac{1}{2}} [/mm] = [mm] \frac{(36(t^4+4t^2+4))^\frac{1}{2}}{(2+t^2)}=\frac{6(t^2+2)^2^\frac{1}{2}}{t^2+2}=6$
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> also, ich habe nun:
>
> [mm]|| \frac{(-12t,12-6t^2,12t)}{2+t^2}||= \frac{144t^2+144-144t^2+36t^4+144t^2}{((2+t^2)^2)^\frac{1}{2}} = \frac{(36(t^4+4t^2+4))^\frac{1}{2}}{(2+t^2)}=\frac{6(t^2+2)^2^\frac{1}{2}}{t^2+2}=6[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das müsstest du nun allerdings für jeden deiner Ergebnisvektoren machen.
Angenommen [mm] $\vec{a}$ [/mm] wäre ein von dir orthoGONALer Vektor, dann musst du um diesen zu OrthoNORMALisieren durch dessen Norm teilen:
[mm] $normaler-Vektor=\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||_2} [/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 So 12.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
>
> > Hallo,
> > also, ich habe nun:
> >
> > [mm]|| \frac{(-12t,12-6t^2,12t)}{2+t^2}||= \frac{144t^2+144-144t^2+36t^4+144t^2}{((2+t^2)^2)^\frac{1}{2}} = \frac{(36(t^4+4t^2+4))^\frac{1}{2}}{(2+t^2)}=\frac{6(t^2+2)^2^\frac{1}{2}}{t^2+2}=6[/mm]
>
>
>
> Das müsstest du nun allerdings für jeden deiner
> Ergebnisvektoren machen.
>
>
>
wie meinst du das? Das war doch der Vektor vom Ergebnis...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 So 12.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
> >
> > > Hallo,
> > > also, ich habe nun:
> > >
> > > [mm]|| \frac{(-12t,12-6t^2,12t)}{2+t^2}||= \frac{144t^2+144-144t^2+36t^4+144t^2}{((2+t^2)^2)^\frac{1}{2}} = \frac{(36(t^4+4t^2+4))^\frac{1}{2}}{(2+t^2)}=\frac{6(t^2+2)^2^\frac{1}{2}}{t^2+2}=6[/mm]
>
> >
> >
>
> >
> > Das müsstest du nun allerdings für jeden deiner
> > Ergebnisvektoren machen.
> >
> >
> >
> wie meinst du das? Das war doch der Vektor vom Ergebnis...
Vielleicht so?
[mm] |\frac{(-12t,12-6t^2,12t)}{6(2+t^2)}=\frac{(-2t,2-t^2,2t)}{(2+t^2)}
[/mm]
Gruß!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 So 12.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenden Sie das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren auf an
$ [mm] c(t)=(6t,3t^2,t^3) [/mm] $
ist das der vollständige Aufgabentext?
1.dann hast du doch insgesamt 3 orth. Vektoren zu suchen? und jeweils zu normieren? warum nur c''?
wenn du einen Vektor (6a,6b,6c) hast ist es einfacher ihn als 6*(x,b,c) zu schreiben.seine L#nge ist dann [mm] 6*\wurzel{a^2+b^2+c^2}
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 So 12.08.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo
> Wenden Sie das Gram-Schmidtsche
> Orthogonalisierungsverfahren auf an
> [mm]c(t)=(6t,3t^2,t^3)[/mm]
> ist das der vollständige Aufgabentext?
> 1.dann hast du doch insgesamt 3 orth. Vektoren zu suchen?
> und jeweils zu normieren? warum nur c''?
> wenn du einen Vektor (6a,6b,6c) hast ist es einfacher ihn
> als 6*(x,b,c) zu schreiben.seine L#nge ist dann
> [mm]6*\wurzel{a^2+b^2+c^2}[/mm]
> Gruss leduart
Es ging mir nur um $c''$. Das war eine Aufgabe zu einem Frenet 3-Bein. Daher ist es so schon ok. Aber trotzdem Danke für deine Hilfe! Gruß
|
|
|
|
