Orthogonalisierungsverfahren < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Do 10.06.2010 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
habe grade das Gram-Schnidt'sche Orthogonalisierungsverfahren für 3 Vektotern aus dem [mm] R^3 [/mm] gemacht. Habe also eine ONB rausgekriegt,welche wieder aus 3 Vektoren aus dem [mm] R^3 [/mm] besteht. Gibt es ne möglichkeit zu Testen ob meine ONB richtig is(nicht verrechnet??).
Grüße
Nerix
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> Hallo,
> habe grade das Gram-Schnidt'sche
> Orthogonalisierungsverfahren für 3 Vektotern aus dem [mm]R^3[/mm]
> gemacht. Habe also eine ONB rausgekriegt,welche wieder aus
> 3 Vektoren aus dem [mm]R^3[/mm] besteht. Gibt es ne möglichkeit zu
> Testen ob meine ONB richtig is(nicht verrechnet??).
Hallo,
die Vektoren müssen paarweise orthogonal sein, also ihr Skalarprodukt =0.
Sie müssen normiert sein, also ihr Skalarprodukt mit sich selbst =1.
Gruß v. Angela
>
> Grüße
> Nerix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Do 10.06.2010 | | Autor: | Nerix |
hallo,
ok,dann kann des bei mir scho ned stimmen^^
kann mir mal jemand sagen wo ich meinen Fehler hab?? Hier die Aufgabe:
[mm] v1:\pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 }, [/mm] v2: [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] und v3: [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 2 }. [/mm] Soll dazu mit dem Verfahren die ONb finden.
Meine Ergebnisse:
habe v1 normiert: Ergebniss: v1' [mm] :\pmat{ 1: Wurzel 3 \\ - 1: Wurzel3 \\ 1:Wurzel 3} [/mm] (sorry in anderer Schreibweise nimmt ers mir ned^^)
dann v2 senkrecht zu v1':
[mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\1 }- <\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}, \pmat{ 1: Wurzel 3 \\ - 1: Wurzel3 \\ 1:Wurzel 3}> [/mm] * [mm] \pmat{ 1: Wurzel 3 \\ - 1: Wurzel3 \\ 1:Wurzel 3} [/mm]
= [mm] \pmat{ 2:3 \\ 0 \\ 2:3 } [/mm] := v2'
dann v2' normieren:
[mm] \parallel v2'\parallel [/mm] = [mm] \wurzel{8:9}
[/mm]
Stimmt des noch??
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> hallo,
> ok,dann kann des bei mir scho ned stimmen^^
> kann mir mal jemand sagen wo ich meinen Fehler hab?? Hier
> die Aufgabe:
> [mm]v1:\pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 },[/mm] v2: [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 }[/mm] und
> v3: [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 2 }.[/mm] Soll dazu mit dem Verfahren die
> ONb finden.
> Meine Ergebnisse:
> habe v1 normiert: Ergebniss: v1' [mm]:\pmat{ 1: Wurzel 3 \\ - 1: Wurzel3 \\ 1:Wurzel 3}[/mm]
> (sorry in anderer Schreibweise nimmt ers mir ned^^)
>
> dann v2 senkrecht zu v1':
> [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\1 }- <\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}, \pmat{ 1: Wurzel 3 \\ - 1: Wurzel3 \\ 1:Wurzel 3}>[/mm] * [mm]\pmat{ 1: Wurzel 3 \\ - 1: Wurzel3 \\ 1:Wurzel 3}[/mm]
Hallo,,
ab hier solltest Du mal schön langsam rechnen.
Wenn Du wieder denselben Vektor für [mm] v_2' [/mm] bekommst, rechne ausführlich vor.
Beachte die Eingabehilfen zur Formeleingabe, welche Du unter dem Eingabefenster findest.
Gruß v. Angela
> = [mm]\pmat{ 2:3 \\ 0 \\ 2:3 }[/mm] := v2'
>
> dann v2' normieren:
> [mm]\parallel v2'\parallel[/mm] = [mm]\wurzel{8:9}[/mm]
>
> Stimmt des noch??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Do 10.06.2010 | | Autor: | Nerix |
> > dann v2 senkrecht zu v1':
> > [mm][mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\1 }- <\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}, \pmat{ \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ \wurzel{\bruch{1}{3}}}> [/mm] * [mm]\pmat{ \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\\wurzel{\bruch{1}{3}}}[/mm]
>
> Hallo,,
>
> ab hier solltest Du mal schön langsam rechnen.
> Wenn Du wieder denselben Vektor für [mm]v_2'[/mm] bekommst, rechne
> ausführlich vor.
> Beachte die Eingabehilfen zur Formeleingabe, welche Du
> unter dem Eingabefenster findest.
>
> Gruß v. Angela
>
>
Hallo,
also ich gehe davon aus,dass der Ansatz noch stimmt! Dann rechne ich mal vor (ich benühe mich die Eingabe Hilfe zu benutzen, aber bei Schachtelungen ( Wurzel in Bruch in Matrix hörts auf bei der Eingbehilfe,da zeigt er mir Fehler an,also bitte seid nachsichtig, ich versuchs aber gern nochmal):
[mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\1 }- (\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}* \pmat{ \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\\wurzel{\bruch{1}{3}} }) [/mm] * [mm] \pmat{ \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ \wurzel{\bruch{1}{3}}} [/mm]
= [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\1 }- (\pmat{\wurzel{\bruch{1}{3}} \\ 0 \\ \wurzel{\bruch{1}{3}} } [/mm] ) * [mm] \pmat{ \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ \wurzel{\bruch{1}{3}}} [/mm]
juhu geschafft
dann weiter
[mm] =\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] - [mm] \pmat{ \bruch{1}{3} \\ 0 \\ \bruch{1}{3}}
[/mm]
[mm] =\pmat{ \bruch{2}{3} \\ 0 \\ \bruch{2}{3}}
[/mm]
richtig??
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> > > dann v2 senkrecht zu v1':
> > > [mm][mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\1 }- <\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}, \pmat{ \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ \wurzel{\bruch{1}{3}}}>[/mm] * [mm]\pmat{ \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\\wurzel{\bruch{1}{3}}}[/mm]
Hallo,
hat doch jetzt 1a geklappt mit den Formeln! Es könnte nicht besser sein.
> [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\1 }- (\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}* \pmat{ \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\\wurzel{\bruch{1}{3}} })[/mm] * [mm]\pmat{ \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ \wurzel{\bruch{1}{3}}}[/mm]
Bis hierher ist es richtig.
Nun solltest Du aber mal haarscharf über die runde Klammer nachdenken: da steht ein Skalarprodukt drin... Was ist denn das Ergebnis eines Skalarproduktes? Ein Vektor etwa? Nein...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Do 10.06.2010 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
ahhhh,bin ich doof!Na klar, keine Ahnung was für nen Schmarrn ich da wieder gedacht hab..tztztz, also richtig sollte es heißen:
> [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\1 }- <\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}* \pmat{ \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\\wurzel{\bruch{1}{3}} }>[/mm] * [mm]\pmat{ \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ \wurzel{\bruch{1}{3}}}[/mm]
[mm] =\pmat{ 1 \\ 0 \\1 }- [/mm] ( [mm] \wurzel{\bruch{1}{3} }+ [/mm] 0 + [mm] \wurzel{\bruch{1}{3}} [/mm] )* [mm] \pmat{ \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ \wurzel{\bruch{1}{3}}}
[/mm]
[mm] =\pmat{ 1 \\ 0 \\1 }- [/mm] ( [mm] 2\wurzel{\bruch{1}{3}})* \pmat{ \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ \wurzel{\bruch{1}{3}}}
[/mm]
[mm] =\pmat{ 1 \\ 0 \\1 }- \pmat{2 \\ - 2 \\2}
[/mm]
= [mm] \pmat{-1 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
Normiert wäre das ganze dann: [mm] \parallel v2'\parallel [/mm] = [mm] \wurzel{6}[/mm]
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> Hallo,
> ahhhh,bin ich doof!Na klar, keine Ahnung was für nen
> Schmarrn ich da wieder gedacht hab..tztztz, also richtig
> sollte es heißen:
>
>
> > [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\1 }- <\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}* \pmat{ \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\\wurzel{\bruch{1}{3}} }>[/mm]
> * [mm]\pmat{ \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ \wurzel{\bruch{1}{3}}}[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ 1 \\ 0 \\1 }-[/mm] ( [mm]\wurzel{\bruch{1}{3} }+[/mm] 0 +
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm] )* [mm]\pmat{ \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ \wurzel{\bruch{1}{3}}}[/mm]
>
>
> [mm]=\pmat{ 1 \\ 0 \\1 }-[/mm] ( [mm]2\wurzel{\bruch{1}{3}})* \pmat{ \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ \wurzel{\bruch{1}{3}}}[/mm]
Hallo,
den wesentlichen Fehler hast Du erkannt, und bis hierher ist es nun richtig.
Jetzt solltest Du Deine Rechenkünste nochmal bündeln und aktivieren...
Dann klappt es auch mit der Orthogonalität.
Gruß v. Angela
>
>
>
> [mm]=\pmat{ 1 \\ 0 \\1 }- \pmat{2 \\ - 2 \\2}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{-1 \\ 2 \\ -1}[/mm]
>
> Normiert wäre das ganze dann: [mm]\parallel v2'\parallel[/mm] =
> [mm]\wurzel{6}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Do 10.06.2010 | | Autor: | Nerix |
ja,ich wollte es gerade änder,aber da war die Frage schon in deiner Bearbeitung....
Also es muss nätürlich heißen:
[mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] - [mm] (2\wurzel{\bruch{1}{3}}) [/mm] * [mm] \pmat{\wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ \wurzel{\bruch{1}{3}} }
[/mm]
=
[mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] - [mm] \pmat{ \bruch{7}{3} \\ - \bruch{7}{3} \\ \bruch{7}{3} }
[/mm]
=
[mm] \pmat{ -\bruch{4}{3} \\ \bruch{7}{3} \\ -\bruch{7}{3}}
[/mm]
die Norm is dann 3!!!
Endlich
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> ja,ich wollte es gerade änder,aber da war die Frage schon
> in deiner Bearbeitung....
> Also es muss nätürlich heißen:
>
> [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] - [mm](2\wurzel{\bruch{1}{3}})[/mm] * [mm]\pmat{\wurzel{\bruch{1}{3}} \\ - \wurzel{\bruch{1}{3}} \\ \wurzel{\bruch{1}{3}} }[/mm]
>
> =
> [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] - [mm]\pmat{ \bruch{7}{3} \\ - \bruch{7}{3} \\ \bruch{7}{3} }[/mm]
Ich glaub', Du mußt ins Bett: was sind denn das jetzt für Siebenen?
richtig ist ...= [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] - [mm]\pmat{ \bruch{2}{3} \\ - \bruch{2}{3} \\ \bruch{2}{3} }[/mm]
Gruß v. Angela
>
> =
> [mm]\pmat{ -\bruch{4}{3} \\ \bruch{7}{3} \\ -\bruch{7}{3}}[/mm]
>
> die Norm is dann 3!!!
> Endlich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Do 10.06.2010 | | Autor: | Nerix |
ja,du hast wohl recht....keine Ahnung,nach 4 stunden vor der Rechnung bin ich blind und hirnlos...will deine Zeit ned verschwenden,ich rechne des morgen nochmal richtig für v2 und v3 aus und poste es dann,denn sonst wird des nur noch mehr ein Drama.
danke
Gute Nacht
Nerix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Nerix |
Guten morgen,
also ich versuchs heute einfach nochmal,ich geb ned auf^^, also wir waren so weit:
> richtig ist ...= [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] - [mm]\pmat{ \bruch{2}{3} \\ - \bruch{2}{3} \\ \bruch{2}{3} }[/mm]
=
[mm] \pmat{ \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} }
[/mm]
wenn ich dass dann nornmiere, :
[mm] \parallel [/mm] v2' [mm] \parallel= \wurzel{< \pmat{ \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} }, \pmat{ \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} } >} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{2}{3}}
[/mm]
--> v2'' wäre dann [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 }: \wurzel{\bruch{2}{3}} [/mm] = [mm] \pmat{\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}} \\ 0 \\ \bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}} } [/mm] Hier bin ich mir nicht sicher, ob ich des Ergebniss,was ich als Norm raus gekriegt hab auf V2 oder auf v2' beziehen soll,habs jetzt mal auf v2 bezogen, sagt mir bitte,wenn das falsch ist!
so, aber dann gilt doch ned v1'' und v2'' orthogonal, denn
[mm] \pmat{ \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ - \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}} } [/mm] * [mm] \pmat{\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}} \\ 0 \\ \bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}} } [/mm] = 0 WIDERSPRUCH
allerding wäre v1'' und v2' orthogonal zueinander.....hmmm.
[mm] \pmat{ \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ - \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}} }*\pmat{ \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} } [/mm] = 0 OK
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> Guten morgen,
> also ich versuchs heute einfach nochmal,ich geb ned auf^^,
> also wir waren so weit:
> > richtig ist ...= [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] - [mm]\pmat{ \bruch{2}{3} \\ - \bruch{2}{3} \\ \bruch{2}{3} }[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} }[/mm]
Hallo,
na also!
Hier ist schonmal Grund zur Freude, denn dieser Vektor ist zu Deinem ersten, zu [mm] \pmat{ \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ - \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}} }, [/mm] orthogonal.
Ein gutes Zeichen...
>
> wenn ich dass dann nornmiere, :
> [mm]\parallel[/mm] v2' [mm]\parallel= \wurzel{< \pmat{ \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} }, \pmat{ \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} } >}[/mm]
> = [mm]\wurzel{\bruch{2}{3}}[/mm]
Genau.
> --> v2'' wäre dann [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 }: \wurzel{\bruch{2}{3}}[/mm]
Quatsch!!!
Du hast doch die Norm des Ergebnisvektors [mm]\pmat{ \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} }[/mm] berechnet.
Natürlich mußt Du diesen Vektor normieren!
Gruß v. Angela
> = [mm]\pmat{\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}} \\ 0 \\ \bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}} }[/mm]
> Hier bin ich mir nicht sicher, ob ich des Ergebniss,was ich
> als Norm raus gekriegt hab auf V2 oder auf v2' beziehen
> soll,habs jetzt mal auf v2 bezogen, sagt mir bitte,wenn das
> falsch ist!
>
> so, aber dann gilt doch ned v1'' und v2'' orthogonal, denn
> [mm]\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ - \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}} }[/mm]
> * [mm]\pmat{\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}} \\ 0 \\ \bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}} }[/mm]
> = 0 WIDERSPRUCH
> allerding wäre v1'' und v2' orthogonal
> zueinander.....hmmm.
> [mm]\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ - \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}} }*\pmat{ \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} }[/mm]
> = 0 OK
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Nerix |
so, dann normiere ich hald v2':
[mm] \pmat{ \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} } [/mm] : [mm] \wurzel{\bruch{2}{3}} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{\bruch{1}{3} \wurzel{3} }{\wurzel{2}} \\ \bruch{\bruch{2}{3} \wurzel{3} }{\wurzel{2}} \\ \bruch{\bruch{1}{3} \wurzel{3} }{\wurzel{2}} }
[/mm]
es gilt v1'' * v2'' = 0, also orthogonal
gut, dann mach ich v 3 senkrecht zu v1'' und v2'':
v3'= v3-<v3,v1''>v1'' - <v3,v2''>v2''
--> [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 2 }- \pmat{ \bruch{2}{3} \\ - \bruch{2}{3} \\ \bruch{2}{3} } [/mm] - [mm] \pmat{ \bruch{2}{3} \\ \bruch{4}{3} \\ \bruch{2}{3} } [/mm] = [mm] \pmat{- \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} } [/mm] = v3'
richtig?? wenn ned,dann kann ich auch genaueren Rechenweg angeben!
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> [mm]\pmat{- \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} }[/mm] =
> v3'
>
> richtig??
Hallo,
ich hab' nicht mitgerechnet, aber da Dein [mm] v_3' [/mm] senkrecht ist zu [mm] v_1'' [/mm] und [mm] v_2'', [/mm] sollte er richtig sein. Nun mußt Du nur noch normieren.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Nerix |
ok, also normieren muss ich v3' mit dem [mm] Faktor\wurzel{\bruch{2}{3}}...
[/mm]
Rest schaff ich alleine!!
Danke vielmals
Gruß
Nerix
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> ok, also normieren muss ich v3' mit dem
> [mm]Faktor\wurzel{\bruch{2}{3}}...[/mm]
Genau.
Gruß v. Angela
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