Orthogonalität < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:07 So 29.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Es ist nachzuweisen, daß die Funktionen cos(m*x) {m>=0} , sin(m*x) {m>0}
im Intervall [0 , 2*Pi] orthogonal zueinander sind. Weiterhin ist die
Norm dieser Funktionen zu berechnen.
Das ist die Musterlösung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vom Prinzip her ist mir alles klar bezogen auf die mathemat. Operationen.
Mich würde nur interessieren, warum ich die Orthogonalität von
sin(m*x) und sin(n*x) sowie cos(n*x) und cos(m*x) nachweisen muss?
Warum reicht es nicht, wenn ich nachweise, dass
cos(m*x) und sin(n*x) orthogonal sind?
Müssen hierbei eigentlich m=n sein? Warum oder warum nicht?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Die Aufgabe ist wohl etwas unglücklich formuliert. Im Prinzip sollst du zeigen, dass [mm] $\{\cos(mx),\sin(nx):\ m\in\IN_0,\ n\in\IN\}$ [/mm] ein Orthogonalsystem bilden. Das heißt, dass jeweils zwei dieser Funktionen aufeinander orthogonal stehen sollen. Wenn du nun zwei verschiedene Funktionen $f$ und $g$ aus dieser Menge wählst, so gibt es drei Möglichkeiten:
1. [mm] $f(x)=\cos(mx),\ g(x)=\sin(nx)$, [/mm] wobei [mm] $m\in\IN_0,\ n\in\IN$.
[/mm]
2. [mm] $f(x)=\cos(mx),\ g(x)=\cos(nx)$, [/mm] wobei [mm] $m,n\in\IN_0,\ m\ne [/mm] n$.
3. [mm] $f(x)=\sin(mx),\ g(x)=\sin(nx)$, [/mm] wobei [mm] $m,n\in\IN,\ m\ne [/mm] n$.
Daher kommt dann diese Dreiteilung in der Berechnung.
Ich hoffe, dass für dich ein bisschen Licht ins Dunkel gekommen ist...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 So 29.05.2005 | | Autor: | Maiko |
< Die Aufgabe ist wohl etwas unglücklich formuliert. Im Prinzip sollst du
< zeigen, dass $ [mm] \{\cos(mx),\sin(nx):\ m\in\IN_0,\ n\in\IN\} [/mm] $ ein
< Orthogonalsystem bilden. Das heißt, dass jeweils zwei dieser Funktionen
< aufeinander orthogonal stehen sollen. Wenn du nun zwei verschiedene
< Funktionen f und g aus dieser Menge wählst, so gibt es drei
< Möglichkeiten:
< 1. $ [mm] f(x)=\cos(mx),\ g(x)=\sin(nx) [/mm] $, wobei $ [mm] m\in\IN_0,\ n\in\IN [/mm] $.
< 2. $ [mm] f(x)=\cos(mx),\ g(x)=\cos(nx) [/mm] $, wobei $ [mm] m,n\in\IN_0,\ m\ne [/mm] n $.
< 3. $ [mm] f(x)=\sin(mx),\ g(x)=\sin(nx) [/mm] $, wobei $ [mm] m,n\in\IN,\ m\ne [/mm] n $.
< Daher kommt dann diese Dreiteilung in der Berechnung.
Sorry, aber irgendwie hab ich immer noch Vorstellungsprobleme.
Ich weiß, was ein Orthogonalsystem ist. Das sind z.B. drei Vektoren, die alle jeweils senkrecht aufeinander stehen, wie es eben der Fall bei einem Koodinatensystem mit x-,y- und z-Achse ist.
Ich weiß aber nicht, wie eine Funktion senkrecht auf einer anderen stehen soll. Kann mir das bildlich auch nicht vorstellen. Ich seh nur die sin und cos-Funktionen vor mir, wie sie Richtung unendlich auf der x-Achse verlaufen.
Leider weiß ich aber nicht, wie sie orthogonal zueinander sein können, geschweige denn ein Orthogonalsystem bilden sollen?
Gibt es dazu vielleicht ein Bild, mit dem man sich das verdeutlichen kann?
Leider kann ich deswegen auch noch nicht nachvollziehen, warum ich nun drei Berechnungen durchführen muss?
Könnte vielleicht jmd. nochmal einen Versuch starten, damit mir das ganze klar wird?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 So 29.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ich weiß, was ein Orthogonalsystem ist.
Offenbar nicht so richtig - jedenfalls nicht in voller Allgmeinheit.
> Ich weiß aber nicht, wie eine Funktion senkrecht auf einer
> anderen stehen soll. Kann mir das bildlich auch nicht
> vorstellen.
Diese Funktionen liegen im Vektorraum aller stetigen[1] Funktionen. Diese Funktionen sind selbst Vektoren. Das Integral über das Produkt zweier solcher Funktionen ist eine symmterische Bilinearform - man kann die Funktionen vertauschen und es ergibt sich das selbe Ergebnis. Bilinearität folgt aus der Linearität des Integrals, positive Definitheit muss man auch noch nachprüfen ... Also kannst du mit dem Integral je zwei Funktionen einen reelen Wert zuordnen mit einer symterischen Bilinearform. Man muss einfach die Definitionen einsetzen - mot Vorstellungen einer Ebene, einer Gerade, eines Raums kommt man hier überhaupt nicht weiter.
Das einzige, was man sich vorstellen kann: das Produkt zweier Funktionen ergibt einen Graphen, dessen Negativ- und Positivteil sich gegenseitig aufheben.
> Ich seh nur die sin und cos-Funktionen vor mir,
> wie sie Richtung unendlich auf der x-Achse verlaufen.
Da wir uns auf einen beschränkten Intervall befinden, tun sie dies nicht.
> Leider weiß ich aber nicht, wie sie orthogonal zueinander
> sein können, geschweige denn ein Orthogonalsystem bilden
> sollen?
Sie tun es, weil man die Definitionen ja für allgemeine Vektorräume hat - nicht nur für endlich dimensionale.
> Leider kann ich deswegen auch noch nicht nachvollziehen,
> warum ich nun drei Berechnungen durchführen muss?
Was würdest du bei normalen Vektoren tun? Einfach mit dem Skalarprodukt testen. Und das tut man hier genauso.
> Könnte vielleicht jmd. nochmal einen Versuch starten, damit
> mir das ganze klar wird?
In disem Fall: ganz brutal von der Vorstellung endlich dimensionaler Vektorräume lösen.
SEcki
[1]: nehm ich mal an - denn sonst ist das Integral nicht so einfach positiv definit.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Maiko |
<Das einzige, was man sich vorstellen kann: das Produkt zweier Funktionen
<ergibt einen Graphen, dessen Negativ- und Positivteil sich gegenseitig
<aufheben.
Kann ich mir jetzt stark vereinfacht das ganze so denken?
Ich rechne cos(mx) * sin(nx) und erhalte einen Graphen, dessen Positiv- und Negativanteile sich aufheben.
Wenn ich jetzt ein sin(rx) nehme, dessen Frequenz eine ganz andere ist als die von sin(nx), diese beiden miteinander multipliziere und widerrum ein Graph als Ergebnis herauskommt, dessen Positiv- und Negativanteile sich aufheben, dann kann man schlussfolgern, dass das
Integral cos(mx)*sin(rx) ebenfalls 0 ist.
Also hätte man mit der Rechnung von sin(nx) * sin(rx) nachgewiesen, dass jede Funktion sin(beliebige Frequenz) zu cos othogonal ist??
Ist dies ein Zweck der Rechnung Integral sin(mx)*sin(nx) =! 0 ??
Bitte um Antwort, ob ich mir das ganze so grob vorstellen kann. Dies handelt sich bei uns um eine Zusatzaufgabe...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Do 02.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Maiko!
> Kann ich mir jetzt stark vereinfacht das ganze so denken?
>
> Ich rechne cos(mx) * sin(nx) und erhalte einen Graphen,
> dessen Positiv- und Negativanteile sich aufheben.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ich jetzt ein sin(rx) nehme, dessen Frequenz eine ganz
> andere ist als die von sin(nx), diese beiden miteinander
> multipliziere und widerrum ein Graph als Ergebnis
> herauskommt, dessen Positiv- und Negativanteile sich
> aufheben,
> dann kann man schlussfolgern, dass das
> Integral cos(mx)*sin(rx) ebenfalls 0 ist.
Nein. Aber letzteres hast du doch schon oben geschlussfolgert. Der Rest deiner Überlegungen stimmt auch nicht.
Also: Jede Funktion [mm] $\sin(mx)$ [/mm] steht zu allen Funktionen [mm] $\sin(nx)$ [/mm] (für $n [mm] \ne [/mm] m$) und allen Funktionen [mm] $\cos(nx)$ [/mm] (auch für $n=m$) senkrecht, d.h. das (abstrakte!) Skalarprodukt ist jeweils gleich $0$.
Du kannst die das bildlich durchaus so vorstellen, dass sich bei der Produktfunktion jeweils Positiv- und Negativteil aufheben, ja.
Der Sinn ist, dass man in Räumen mit einem Skalarprodukt immer an einer Orthonormalbasis interessiert ist, weil die Darstellung eines Vektors (der hier ja eine stetige Funktion ist!) bezüglich einer Orthonormalbasis immer besondern einfach ist! (Denn dann ergeben sich die Koeffizienten immer als Skalarprodukte).
Wenn ich nun eine orthogonale Familie habe (wie hier), dann kann ich diese durch Normieren zu einer orthonormalen Familie machen. Und mit etwas Glück handelt es sich dann sogar schon um eine Orthonormalbasis. Aber auch eine orthonormale Familie ist schon sehr nützlich, weil ich dann schöne Abschätzungen vornehmen kann (Stichwort: Besselsche Ungleichung).
Bitte klammere dich nicht zu sehr an eine geometrische Vorstellung. Versuche die Dinge wirklich abstrakt zu sehen und zu verstehen. Anschauung kann manchmal helfen, erscheint mir hier aber nicht nötig für ein Verständnis. 
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Do 02.06.2005 | | Autor: | Maiko |
Also scheinbar bin ich blöd.
> Also: Jede Funktion [mm]\sin(mx)[/mm] steht zu allen Funktionen
> [mm]\sin(nx)[/mm] (für [mm]n \ne m[/mm]) und allen Funktionen [mm]\cos(nx)[/mm] (auch
> für [mm]n=m[/mm]) senkrecht, d.h. das (abstrakte!) Skalarprodukt ist
> jeweils gleich [mm]0[/mm].
Ich frag jetzt nochmal, auch wenn es einige nervt. Da ich keine Vorstellung zu diesem Problem habe, verstehe ich nicht, warum die verschiedenen sin(x)-Frequenzen zu einander orthogonal sein müssen. Schließlich steht in der Aufgabenstellung, dass sin(mx) und cos(mx) zueinander orthogonal sein müssen.
> Der Sinn ist, dass man in Räumen mit einem Skalarprodukt
> immer an einer Orthonormalbasis interessiert ist,
Orthonormalbasis. x-,y- und z-Achse sind zueinander senkrecht.
Was stellt jetzt die x-,y- und z-Achse bezogen auf mein Problem dar?
> weil die
> Darstellung eines Vektors (der hier ja eine stetige
> Funktion ist!) bezüglich einer Orthonormalbasis immer
> besondern einfach ist!
Sorry, weiß nicht warum...
> (Denn dann ergeben sich die
> Koeffizienten immer als Skalarprodukte).
Welche Koeffizienten?
> Wenn ich nun eine orthogonale Familie habe (wie hier), dann
> kann ich diese durch Normieren zu einer orthonormalen
> Familie machen. Und mit etwas Glück handelt es sich dann
> sogar schon um eine Orthonormalbasis. Aber auch eine
> orthonormale Familie ist schon sehr nützlich, weil ich dann
> schöne Abschätzungen vornehmen kann (Stichwort: Besselsche
> Ungleichung).
Kenn leider keine Besselsche Ungleichung. Wie gesagt, das ganze ist bei uns Zusatzaufgabe, da ich kein Mathematikstudent bin. Wurde so konkret auch nicht in der VL behandelt.
Also, ich muss sagen, dass ich seit Anbeginn meiner Fragestellerei im Matheraum wirklich wahnisinnig viel gelernt habe. Wenn man bedenkt, dass dies in einer sehr kurzen Zeit war, kann ich mich darüber wirklich freuen. Diese Aufgabe allerdings gibt mir ein Rätsel auf...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Do 02.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Maiko!
> Ich frag jetzt nochmal, auch wenn es einige nervt. Da ich
> keine Vorstellung zu diesem Problem habe, verstehe ich
> nicht, warum die verschiedenen sin(x)-Frequenzen zu
> einander orthogonal sein müssen.
Sie müssen es nicht, sie sind es einfach. Kann man ja nachrechnen...
> Schließlich steht in der
> Aufgabenstellung, dass sin(mx) und cos(mx) zueinander
> orthogonal sein müssen.
Richtig, aber da verschweigt uns die Aufgabenstellung eben einiges. Es gilt eigentlich noch viel mehr, nämlich auch, dass [mm] $\sin(nx)$ [/mm] und [mm] $\sin(mx)$ [/mm] für [mm] $n\ne [/mm] m$ zueinander orthogonal sind.
> > Der Sinn ist, dass man in Räumen mit einem Skalarprodukt
> > immer an einer Orthonormalbasis interessiert ist,
>
> Orthonormalbasis. x-,y- und z-Achse sind zueinander
> senkrecht.
> Was stellt jetzt die x-,y- und z-Achse bezogen auf mein
> Problem dar?
Das kann man nicht. Die Vektoren sind keine Elemente des [mm] $\IR^n$, [/mm] sondern abstrakte Vektoren. Funktionen in einem Vektorraum von stetigen Funktionen. Da bringt dir die Anschauung und ein Koordinatensystem nichts. Du musst es einfach abstrakt so hinnehmen. Es tut mir leid, aber so ist es nun mal.
> > weil die
> > Darstellung eines Vektors (der hier ja eine stetige
> > Funktion ist!) bezüglich einer Orthonormalbasis immer
> > besondern einfach ist!
>
> Sorry, weiß nicht warum...
>
> > (Denn dann ergeben sich die
> > Koeffizienten immer als Skalarprodukte).
>
> Welche Koeffizienten?
Naja, bleiben wir mal im Endlichdimensionalen. Ist $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum mit einem Skalarprodukt und [mm] $(v_1,\ldots,v_n)$ [/mm] eine Basis, dass gibt es zu jedem Vektor Skalare [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ [/mm] mit
$v = [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_nv_n$.
[/mm]
Wenn nun [mm] $(v_1,\ldots,v_n)$ [/mm] zusätzlich orthonormal bezüglich des Skalarprodukts sind, dann braucht man die [mm] $\lambda_i$ [/mm] nicht mühselig zu berechnen, sondern kann sofort sagen:
[mm] $\lambda_i [/mm] = [mm] \langle v,v_i \rangle$.
[/mm]
> > Wenn ich nun eine orthogonale Familie habe (wie hier), dann
> > kann ich diese durch Normieren zu einer orthonormalen
> > Familie machen. Und mit etwas Glück handelt es sich dann
> > sogar schon um eine Orthonormalbasis. Aber auch eine
> > orthonormale Familie ist schon sehr nützlich, weil ich dann
> > schöne Abschätzungen vornehmen kann (Stichwort: Besselsche
> > Ungleichung).
>
> Kenn leider keine Besselsche Ungleichung. Wie gesagt, das
> ganze ist bei uns Zusatzaufgabe, da ich kein
> Mathematikstudent bin. Wurde so konkret auch nicht in der
> VL behandelt.
Gut, vergessen wir das. Ich wollte nur eine Motivation geben, aber im Moment fehlt euch das Wissen um die Dinge begreifen zu können. Anschaulich ist da nicht viel zu reißen, aber innermathematisch durchaus.
Viele Grüße
Julius
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