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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Mi 25.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Kurve [mm] $c(t)=(cos^3 [/mm] t, sin^3t)$. Berechnen Sie $<c'(t), c''(t)>.$ |
Hallo,
ich habe:
$c'(t)=(-3 [mm] \cdot [/mm] cos^2t [mm] \cdot [/mm] sint,3 [mm] \cdot sin^2t\cdot [/mm] cost)$
[mm] $c''(t)=(6\cos(t)\sin^2(t)-3\cos^3(t),6\sin(t)\cos^2(t) -3\sin^3(t))
[/mm]
[mm] $=-9|cost\cdot [/mm] sint|=-9 [mm] \cdot \frac{1}{2}sin(2t)$
[/mm]
Also nicht Orthogonal, da $<c'(t),c''(t)> [mm] \not=0$
[/mm]
Kann mir jemand das Ergebnis bestätigen?
Danke und Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Mi 25.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Kurve [mm]c(t)=(cos^3 t, sin^3t)[/mm]. Berechnen Sie
> [mm].[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe:
>
> [mm]c'(t)=(-3 \cdot cos^2t \cdot sint,3 \cdot sin^2t\cdot cost)[/mm]
>
> [mm]$c''(t)=(6\cos(t)\sin^2(t)-3\cos^3(t),6\sin(t)\cos^2(t) -3\sin^3(t))[/mm]
>
> [mm]=-9|cost\cdot sint|
Wie kommst Du darauf ? Wo kommen die Beträge her ?
FRED
> =-9 \cdot \frac{1}{2}sin(2t)[/mm]
>
> Also nicht Orthogonal, da [mm] \not=0[/mm]
>
> Kann mir jemand das Ergebnis bestätigen?
> Danke und Grüße!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mi 25.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also ich habe:
$c'(t)= (-3 [mm] \cdot [/mm] cos^2t [mm] \cdot [/mm] sint,3 [mm] \cdot sin^2t\cdot [/mm] cost) $
[mm] $c''(t)=(6\cos(t)\sin^2(t)-3\cos^3(t),6\sin(t)\cos^2(t) -3\sin^3(t)) [/mm] $
1. $(-3cos^2t [mm] \cdot [/mm] sint [mm] )\cdot(6cost\cdot [/mm] sin^2t-3cos^3t)=-18cos^3t [mm] \cdot [/mm] sin^3t + 9cos^5t [mm] \cdot [/mm] sint$
2. [mm] $(3sin^2t\cdot cost)\cdot(6sint \cdot cos^2t-3sin^3t)=18sin^3t\cdot [/mm] cos^3t-9sin^5t [mm] \cdot [/mm] cost$
1+2: $-18cos^3t [mm] \cdot [/mm] sin^3t + 9cos^5t [mm] \cdot [/mm] sint + [mm] 18sin^3t\cdot [/mm] cos^3t-9sin^5t [mm] \cdot [/mm] cost$
$= [mm] -9sint\cdot [/mm] cost(cos^4t+sin^4t)$
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Mi 25.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> also ich habe:
>
> [mm]c'(t)= (-3 \cdot cos^2t \cdot sint,3 \cdot sin^2t\cdot cost)[/mm]
>
> [mm]c''(t)=(6\cos(t)\sin^2(t)-3\cos^3(t),6\sin(t)\cos^2(t) -3\sin^3(t))[/mm]
>
> 1. [mm](-3cos^2t \cdot sint )\cdot(6cost\cdot sin^2t-3cos^3t)=-18cos^3t \cdot sin^3t + 9cos^5t \cdot sint[/mm]
>
> 2. [mm](3sin^2t\cdot cost)\cdot(6sint \cdot cos^2t-3sin^3t)=18sin^3t\cdot cos^3t-9sin^5t \cdot cost[/mm]
>
> 1+2: [mm]-18cos^3t \cdot sin^3t + 9cos^5t \cdot sint + 18sin^3t\cdot cos^3t-9sin^5t \cdot cost[/mm]
>
> [mm]= -9sint\cdot cost(cos^4t+sin^4t)[/mm]
Das ist richtig. Aber wie kommst Du drauf, dass das = [mm] -9|cost\cdot [/mm] sint| ist ?
FRED
>
> Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Mi 25.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
das war das Ergebnis:
$ -9cost sint (cos^4t+sin^4t)$
[mm] $cos^2+sin^2=1$
[/mm]
[mm] $cos^4+sin^4=1 \Rightarrow [/mm] -9|cost [mm] \cdot [/mm] sint|$
oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Mi 25.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> das war das Ergebnis:
>
> [mm]-9cost sint (cos^4t+sin^4t)[/mm]
> [mm]cos^2+sin^2=1[/mm]
> [mm]cos^4+sin^4=1 \Rightarrow -9|cost \cdot sint|[/mm]
>
> oder nicht?
Nein. Aus [mm] cos^2(t)+sin^2(t)=1 [/mm] folgt i.a. nicht [mm] cos^4(t)+sin^4(t)=1
[/mm]
(anderenfalls würde induktiv folgen: [mm] cos^{2^n}(t)+sin^{2^n}(t)=1 [/mm] für alle n. Und die Funktionen Sinus und Cosinus würden nur die Werte -1,0,1 annehmen)
Wie kommen die Beträge zustande ? Studenten neige ja dazu Beträge zu verschlampern. Du machst welche hin, wo keine hingehören !
FRED
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 Mi 25.07.2012 | | Autor: | MathePower |
Hallo fred97,
> > Hallo,
> >
> > also ich habe:
> >
> > [mm]c'(t)= (-3 \cdot cos^2t \cdot sint,3 \cdot sin^2t\cdot cost)[/mm]
>
> >
> > [mm]c''(t)=(6\cos(t)\sin^2(t)-3\cos^3(t),6\sin(t)\cos^2(t) -3\sin^3(t))[/mm]
>
> >
> > 1. [mm](-3cos^2t \cdot sint )\cdot(6cost\cdot sin^2t-3cos^3t)=-18cos^3t \cdot sin^3t + 9cos^5t \cdot sint[/mm]
>
> >
> > 2. [mm](3sin^2t\cdot cost)\cdot(6sint \cdot cos^2t-3sin^3t)=18sin^3t\cdot cos^3t-9sin^5t \cdot cost[/mm]
>
> >
> > 1+2: [mm]-18cos^3t \cdot sin^3t + 9cos^5t \cdot sint + 18sin^3t\cdot cos^3t-9sin^5t \cdot cost[/mm]
>
> >
> > [mm]= -9sint\cdot cost(cos^4t+sin^4t)[/mm]
>
Es muss hier lauten:
[mm]= -9sint\cdot cost(cos^4t\red{-}sin^4t)[/mm]
> Das ist richtig. Aber wie kommst Du drauf, dass das =
> [mm]-9|cost\cdot[/mm] sint| ist ?
>
> FRED
> >
> > Grüße
>
Gruss
MathePower
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