Orthogonalität im 3+ dim. Raum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Di 24.07.2007 | | Autor: | bambam |
Hallo zusammen
ich hab da eine allgemeine Frage zur Orthogonalität im 3- und höher dimensionalen Raum, welche sich bis jetzt in zwei Teilproblemen manifestierten.
1. Wenn ich z.B. eine Gerade sagen wir g habe und möchte von irgendeinem bestimmten Punkt auf g, das Lot auf eine andere Gerade h fällen. Also ein Vektor der orthogonal auf g steht und h schneidet, wie funktioniert das?
2. ein wahrscheinlich sehr ähnliches Problem: ich habe einen Punkt z.B. P(5/3/4) und eine Gerade g. Nun möchte ich von P das Lot auf g fällen. Also ein Vektor der auf g orthogonal steht und durch Punkt P geht.
Sind wahrscheinlich relativ einfache Problemstellung, aber ich kapiert einfach nicht wie ich das lösen soll, resp. wie ich die zwei Bedingungen (orthogonal auf irgendwas + durch Punkt soundso) verbinden kann.
Vielen Dank für Eure Hile
Gruss Michael
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Stell dir eine Ebene vor, die senkrecht zu deiner (ersten) Graden verläuft. Wenn diese Ebene nun gleichzeitig einen Punkt enthält, durch den dein Lot verlaufen soll (ganz gleich, ob sich der Punkt auf der Graden oder sonstwo befindet), dann liegt der Lot-Vektor doch auch in dieser Ebene.
Praktisch gesegen geht das mit der Normalendarstellung der Ebene: [mm] $(\vec [/mm] x - [mm] \vec a)*\vec [/mm] n=0$
Der Richtungsvektor deiner Graden, zu der das Lot gefällt werden soll, ist gleichzeitig [mm] \vec{n} [/mm] . Damit ist die Ausrichtung der Ebene, also die Orthognalität festgelegt. Für [mm] \vec{a} [/mm] setzt du nun den Punkt ein, durch den dein Lot ebenfalls verlaufen soll.
Jetzt brauchst du einen zweiten Punkt in der Ebene, das ist im zweiten Fall der Schnittpunkt der Ebene mit der Graden, im ersten Fall der Schnittpunkt der Ebene mit der zweiten Graden.
Diesen Schnittpunkt mußt du berechnen. Dann hast du zwei Punkte in der Ebene, die zusammen deine Lotgrade bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Di 24.07.2007 | | Autor: | bambam |
| Aufgabe | | Welcher Punkt auf der geraden [mm] \vec{x}(t) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -3 \\ 2} [/mm] + [mm] t\vektor{-1 \\ 1 \\ 2} [/mm] hat von den Punkten P = (3,4,0) und Q = (1,4,2) gleiche Abstände? |
Danke für die prompte Antwort!
Bis zu der Sache mit dem 2. Punkt denke ich mal kapier ich das. Aber danach haperts ein bischen.
Ich hab mal das Bsp. oben versucht zu lösen.
Also zuerst die grundlegende Rechnerei:
- Geradengleichung PQ: [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 0} [/mm] + [mm] t\vektor{-2 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
- Mittelpunkt M von PQ: [mm] \overrightarrow{OM}=\vektor{2 \\ 4 \\ 1}
[/mm]
[mm] (\vec{x}-\vec{a}) [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] = 0
für a hab ich den Punkt M eingesetzt, für n den Richtungsvektor der Gerade [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 2} [/mm] und für x die unbekannten x,y,z:
-2(x-2) + 0(y-4) + 2(z-1) = 0 das resultierte dann in
x - z - 1 = 0
irgendwie werd ich daraus nicht schlau, war das so richtig bis hierhin?
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Hallo Michael!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Alles richtig bisher. Mit $E \ : \ x-z-1 \ = \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $E \ : \ [mm] \vektor{1\\0\\-1}*\vec{x} [/mm] \ = \ 1$ hast Du nun diejenige Ebene $E_$ ermittelt, auf welcher alle Punkte liegen, die von den beiden Punkten $P_$ und $Q_$ denselben Abstand haben.
Nun die Geradengleichung in diese Ebenengleichung einsetzen und nach $t \ = \ ...$ umstellen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Di 24.07.2007 | | Autor: | bambam |
Danke Roadrunner! So bin ich auf die korrekte Lösung gekommen.
Ich habe da noch zwei wahrscheinlich ziemlich dumme Verständnisfragen.
Warum dass, dieses x-z-1=0 die Ebenengleichung ist habe ich nach langem grübeln kapiert ;O)
aber wie Du darauf gekommen bist, dass [mm] E=\vektor{1 \\ 0 \\ -1} *\vec{x} [/mm] = 1 gilt, verstehe ich noch nicht so ganz.
und noch ne viel dümmere Frage:
Wenn ich die Geradengleichung eingesetzt habe, erhalte ich folgendes Gleichungssystem
1 * -t = 1
0 * (-3 + t) = 1 // und genau diese Zeile bereitet mir Kopfschmerzen, denn da steht dann 0=1 und das stimmt ja nicht?
-1 *(2 + 2t) = 1
Gruss
Michael
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Hallo Michael!
Aus der Ebenengleichung $x-z-1 \ = \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x-z \ = \ 0$ [mm] $\gdw$ $\red{1}*x+\blue{0}*y+(\green{-1})*z [/mm] \ = \ 1$ können wir doch unmittelbar den Normalenvektor dieser Ebene ablesen mit:
[mm] $\vec{n}_E [/mm] \ = \ [mm] \vektor{\red{1} \\ \blue{0} \\ \green{-1} }$
[/mm]
Und das setzen wir dann in die Normalenform für Ebenen mit [mm] $\vec{n}*\vec{x} [/mm] \ = \ d$ ein.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Michael!
Wie hast Du denn die Geradengleichung $g \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{0\\-3\\2}+t*\vektor{-1\\1\\2}$ [/mm] in die Ebenengleichung $E \ : \ [mm] \vektor{1\\0\\-1}*\vec{x} [/mm] \ = \ 1$ eingesetzt? Das scheint mir bei Dir falsch zu sein ...
Ich erhalte hier:
[mm] $\vektor{1\\0\\-1}*\red{\vec{x}} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\0\\-1}*\left[\red{\vektor{0\\-3\\2}+t*\vektor{-1\\1\\2}}\right] [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\0\\-1}*\vektor{0\\-3\\2}+t*\vektor{1\\0\\-1}*\vektor{-1\\1\\2} [/mm] \ = \ ... \ = \ 1$
Nun die beiden  Skalarprodukte ausrechnen, und Du erhältst nur eine Bestimmungsgleichung für $t_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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