Orthogonalität von Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle [m]a, b \in \IR[/m], für die die Gerade [m]\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} b \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/m] senkrecht zur Geraden [m]\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m] liegt. |
Hallo zusammen,
ich nenne die erste Gerade mal [mm] g_1 [/mm] und die zweite Gerade [mm] g_2.
[/mm]
Es soll also gelten:
[m]g_1: \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} b \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/m] und [m]g_2: \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m]
Hätte jetzt zunächst an das Skalarprodukt gleich Null gedacht.
Also [mm] g_1 \perp g_2 \gdw g_1 [/mm] * [mm] g_2 [/mm] = 0 , das macht aber m.E. keinen Sinn, da dies nur bei Vektoren gilt und nicht bei Geraden, welche wiederum aus Punktmengen bestehen, aber dennoch...
Ich hatte mich vorher mit Geraden im [mm] \IR^2 [/mm] beschäftigt, dort gilt:
[m]g_1 \perp g_2 \gdw m_1 * m_2 = -1[/m]
Also zwei Geraden stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn die Multiplikation ihrer beiden Steigungen -1 ergibt.
Nur bin ich bei dieser Aufgabe aber im [mm] \IR^3 [/mm] ... gibt es dennoch eine Möglichkeit die Steigung im [mm] \IR^3 [/mm] zu berechnen oder muss ich hier ein Gleichungssystem aufstellen?
Hat jemand für mich einen Denkanstoß?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Mo 28.04.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo gummibaum!
> Hätte jetzt zunächst an das Skalarprodukt gleich Null
> gedacht.
Guter Ansatz.
> Also [mm]g_1 \perp g_2 \gdw g_1[/mm] * [mm]g_2[/mm] = 0 , das macht aber
> m.E. keinen Sinn, da dies nur bei Vektoren gilt und nicht
> bei Geraden,
Das hast Du Recht.
Aber muss für die beiden Richtungsvektoren der beiden Geraden gelten:
[mm]\vec{r}_1*\vec{r}_2 \ = \ 0[/mm]
[mm]\vektor{b\\2\\1}*\vektor{1\\2\\3} \ = \ 0[/mm]
Gruß
Loddar
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Hi, okay danke für den Tipp, hätte ich auch selbst drauf kommen können! ;)
Gegeben: [m]g_1: \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} b \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/m] und [m]g_2: \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m]
Gesucht: alle [m]a, b \in \IR[/m] mit [m]r_{g1} \perp r_{g2}[/m]
Es gilt: [m]r_{g1} \perp r_{g2} \gdw r_{g1} * r_{g2} = 0[/m]
Also ist [m]\begin{pmatrix} b \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 0 \gdw b + 4 + 3 = 0 \gdw b = -7[/m]
Soweit so gut, dann habe ich jetzt das b bzw. ein b?
Wie kann nun das a berechnen? Habe leider keine Idee!
Es handelt sich ja hier um den Ortsvektor bzw. ein Vektor welcher zu einem Punkt auf der Geraden führt.
aktualisierte Geradengleichungen (nach Berechnung von b):
[m]g_1: \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/m] und [m]g_2: \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m]
Muss ein Gleichungssystem aufstellen oder bin ich auf dem 'Holzweg'? :)
Vielen Dank im voraus für Eure Tipps!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Di 29.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hi, okay danke für den Tipp, hätte ich auch selbst drauf
> kommen können! ;)
dann wirst Du das in Zukunft auch werden, wenn Du das nun einsiehst. 
> Gegeben: [m]g_1: \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} b \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/m]
> und [m]g_2: \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m]
>
> Gesucht: alle [m]a, b \in \IR[/m] mit [m]r_{g1} \perp r_{g2}[/m]
>
> Es gilt: [m]r_{g1} \perp r_{g2} \gdw r_{g1} * r_{g2} = 0[/m]
>
> Also ist [m]\begin{pmatrix} b \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 0 \gdw b + 4 + 3 = 0 \gdw b = -7[/m]
>
> Soweit so gut, dann habe ich jetzt das b bzw. ein b?
Du hast jetzt
"das - für die Aufgabe- (einzige) [mm] $b\,,$"
[/mm]
es ist (wenn Du Dir bei Deinen Umformungen Gedanken gemacht hast)
sowohl notwendig als auch hinreichend.
> Wie kann nun das a berechnen? Habe leider keine Idee!
Na, ändert denn der Aufpunkt irgendwas an dem Richtungsvektor? Nein,
also:
Alle $a [mm] \in \IR$... [/mm]
> Es handelt sich ja hier um den Ortsvektor bzw. ein Vektor
> welcher zu einem Punkt auf der Geraden führt.
>
> aktualisierte Geradengleichungen (nach Berechnung von b):
>
> [m]g_1: \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/m]
> und [m]g_2: \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m]
>
> Muss ein Gleichungssystem aufstellen oder bin ich auf dem
> 'Holzweg'? :)
Ich schreib's mal anders:
Bzgl. der obigen Geraden [mm] $g_2$ [/mm] (welche man als Menge etwa
[mm] $g_2=\{(x,y,z):\;\;(x,y,z)=(1,5,6)+\mu*(1,2,3):\;\; \mu \in \IR\}=\bigcup_{\mu \in \IR}\{(1,5,6)+\mu*(1,2,3)\} \subseteq \IR^3$
[/mm]
schreiben kann) steht eine Gerade
[mm] $g_1=g_1(a,b):=\{(x,y,z):\;\;(x,y,z)=(a,1,1)+\lambda*(b,2,1):\;\; \lambda \in \IR\}=\bigcup_{\lambda \in \IR}\{(1,5,6)+\lambda*(b,2,1)\} \subseteq \IR^3$
[/mm]
genau dann senkrecht, wenn [mm] $b=-7\,$ [/mm] (und $a [mm] \in \IR$) [/mm] gilt.
Geometrisch kannst Du auch sagen:
Alle gesuchten Geraden
[mm] $g_1=g_1(a,b)$
[/mm]
findet man, indem man irgendeinen Punkt auf der Ursprungsgeraden
[mm] $g_0:\;\; \vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\1\\1}+a*\vektor{1\\0\\0}$
[/mm]
als Aufpunkt für [mm] $g_1$ [/mm] wählt (d.h. wähle irgendein $a [mm] \in \IR$ [/mm] und halte dieses
als Parameter fest) und dann für [mm] $g_1$ [/mm] den Richtungsvektor
[mm] $\vektor{-7\\2\\1}$
[/mm]
wählt.
Gruß,
Marcel
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Hi,
also kann man sagen:
[m]g_1 \perp g_2 \gdw \vec r_{g1} \perp \vec r_{g2} \gdw \vec r_{g1} * \vec r_{g2} = 0 \gdw \begin{pmatrix} b \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 \gdw b + 4 + 3 = 0 \gdw b = -7[/m]
Also ist damit [m]b = -7[/m] und die aktualisierte Darstellung der Geraden [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] in Punkt-Richtungsform (Parameterform) ist:
[m]g_1: \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, g_2: \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m]
Damit also [m]g_1 \perp g_2[/m] gilt, muss [m]b = -7[/m] und [m]a \in \IR[/m] gelten (an dem Stützvektor, Aufpunkt, Ortsvektor) ändert sich ja nichts daran, da nur die Richtungsvektoren der Geraden für die Prüfung auf Orthogonalität beider Geraden zueinander, eine Rolle spielen.
Hoffe das ist so richtig...
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> Hi,
>
> also kann man sagen:
>
> [m]g_1 \perp g_2 \gdw \vec r_{g1} \perp \vec r_{g2} \gdw \vec r_{g1} * \vec r_{g2} = 0 \gdw \begin{pmatrix} b \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 \gdw b + 4 + 3 = 0 \gdw b = -7[/m]
>
> Also ist damit [m]b = -7[/m] und die aktualisierte Darstellung der
> Geraden [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] in Punkt-Richtungsform (Parameterform)
> ist:
>
> [m]g_1: \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, g_2: \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m]
>
> Damit also [m]g_1 \perp g_2[/m] gilt, muss [m]b = -7[/m] und [m]a \in \IR[/m]
> gelten (an dem Stützvektor, Aufpunkt, Ortsvektor) ändert
> sich ja nichts daran, da nur die Richtungsvektoren der
> Geraden für die Prüfung auf Orthogonalität beider
> Geraden zueinander, eine Rolle spielen.
>
> Hoffe das ist so richtig...
Hallo,
um von orthogonalen Geraden sprechen zu können, würde ich schon erwarten, daß sie sich schneiden.
Bist Du Dir sicher, daß sie das für jedes [mm] a\in \IR [/mm] tun?
LG Angela
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Das weiß ich nicht, bin wirklich überfragt und drehe auch echt durch bei dieser Aufgabe... so schwer kann es doch nicht sein. Kannst Du mir einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Mo 05.05.2014 | | Autor: | chrisno |
Zwei Geraden schneiden sich: sie haben einen Punkt gemeinsam.
Also setzt Du [mm] $g_1 [/mm] = [mm] g_2$ [/mm] und schaust, für welche Werte von a, [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2$ [/mm] das gilt.
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Hi.
Ok, ich stelle also ein bestimmtes Gleichungssystem (drei Gleichungen, drei Unbekannte auf) und löse nach a auf. b=-7 ist erstmal richtig?
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> Hi.
>
> Ok, ich stelle also ein bestimmtes Gleichungssystem (drei
> Gleichungen, drei Unbekannte auf) und löse nach a auf.
Hallo,
naja, nicht nur nach a. Du löst halt das LGS.
> b=-7 ist erstmal richtig?
Jaja, das stand doch nicht mehr zur Debatte.
LG Angela
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Hallo zusammen,
ich habe mich nochmal an die Aufgabe gesetzt.
Zunächst wissen wir, dass [m]b = -7[/m] gilt (siehe oben).
Dies in die Parameterdarstellung der 1. Geraden eingesetzt ergibt also (führe der Übersicht halber nochmal beide Geradengleichungen als PRF auf):
[m]g_1: \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_1 $ \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $, \, g_2: \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda_2 $ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} $[/m]
Da beiden Geraden orthogonal aufeinander stehen und somit ein Winkel von 90° gebildet wird, wissen wir (wie bereits erwähnt) dass beide Geraden sich schneiden, also muss gelten: [m]g_1 = g_2[/m], d.h. es entsteht ein bestimmtes Gleichungssystem (3 Gleichungen und 3 Unbekannte (nämlich: [m]a, \lambda_1, \lambda_2[/m]).
Also ist das folgende Gleichungssystem, welches äquivalent zu den beiden o.g. Geradengleichungen in Punkt-Richtungsform ist, eindeutig lösbar:
[m] a - 7\lambda_1 = 1 + \lambda_2 \quad (I)[/m]
[m]1 + 2\lambda_1 = 5 + 2 \lambda_2 \quad (II)[/m]
[m]1 + \lambda_1 = 6 + 3\lambda_2 \quad (III)[/m]
Ich löse [m]III[/m] nach [m]\lambda_1[/m] auf: [m]\lambda_1 = 5 + 3\lambda_2[/m]
Dann wird das soeben berechnete [m]\lambda_1[/m] in [m]II[/m] eingesetzt und nach [m]\lambda_2[/m] aufgelöst, was auf [m]\lambda_2 = -\bruch{3}{2}[/m] führt.
Um das [m]\lambda_1[/m] zu bestimmen, wird das soeben bestimmte [m]\lambda_2[/m] in [m]\lambda1[/m] eingesetzt, d.h. [m]\lambda_1 = \bruch{1}{2}[/m].
Die berechneten Unbekannten [m]\lambda_1 = \bruch{1}{2}, \lambda2 = - \bruch{3}{2}[/m] werden in [m]I[/m] eingesetzt und es wird nach [m]a[/m] aufgelöst, d.h. [m]a = 3[/m]
Somit haben wir alle [m]a, b \in \IR[/m] mit [m]g_1 \perp g_2[/m] bestimmt, nämlich [m]a = 3[/m] und [m]b = -7[/m]
Also lautet die Parameterdarstellung der ersten Geraden [m]g_1: \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_1 $ \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $[/m], wenn [m]g_1 \perp g_2[/m] und damit [m]g_1 = g_2[/m] gelten soll.
Ich hoffe, das ist alles so korrekt?
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Hallo,
Du hast richtig gerechnet.
Wenn die Geraden orthogonal zueinander sein sollen,
müssen erstens ihre Richtungvektoren orthogonal sein, was zu b=-7 führt,
weiter müssen sie einen gemeinsamen Punkt haben, sich also schneiden, was a=3 liefert.
> Also lautet die Parameterdarstellung der ersten Geraden
> [m]g_1: \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_1 $ \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $[/m],
Genau.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:02 So 18.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi Angela,
> Hallo,
>
> Du hast richtig gerechnet.
>
> Wenn die Geraden orthogonal zueinander sein sollen,
> müssen erstens ihre Richtungvektoren orthogonal sein, was
> zu b=-7 führt,
> weiter müssen sie einen gemeinsamen Punkt haben, sich
> also schneiden, was a=3 liefert.
>
>
> > Also lautet die Parameterdarstellung der ersten Geraden
> > [m]g_1: \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_1 $ \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $[/m],
ich gehe (aus dem Zshg. heraus) davon aus, dass hier die Definition, wann
zwei Geraden senkrecht heißen sollen, wirklich die obigen beiden
Bedingungen erfüllen sollten - das ist in der Schule tatsächlich wohl so
üblich.
I.A. aber nochmal der Hinweis: Eigentlich müsste hier eine solche Definition
nachgeliefert werden. Um das Ganze nochmal exemplarisch zu händeln:
Etwa
![[]](/images/popup.gif) hier (klick!)
findet man eben eine Definition, die ohne die "Schnittpunktsforderung"
auskommt (Musteraufgabe 5a):
"Dabei heißen zwei Geraden orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren
orthogonal sind. ..."
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:54 So 18.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi Angela,
> > Hi,
> >
> > also kann man sagen:
> >
> > [m]g_1 \perp g_2 \gdw \vec r_{g1} \perp \vec r_{g2} \gdw \vec r_{g1} * \vec r_{g2} = 0 \gdw \begin{pmatrix} b \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 \gdw b + 4 + 3 = 0 \gdw b = -7[/m]
>
> >
> > Also ist damit [m]b = -7[/m] und die aktualisierte Darstellung der
> > Geraden [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] in Punkt-Richtungsform (Parameterform)
> > ist:
> >
> > [m]g_1: \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, g_2: \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m]
>
> >
> > Damit also [m]g_1 \perp g_2[/m] gilt, muss [m]b = -7[/m] und [m]a \in \IR[/m]
> > gelten (an dem Stützvektor, Aufpunkt, Ortsvektor) ändert
> > sich ja nichts daran, da nur die Richtungsvektoren der
> > Geraden für die Prüfung auf Orthogonalität beider
> > Geraden zueinander, eine Rolle spielen.
> >
> > Hoffe das ist so richtig...
>
> Hallo,
>
> um von orthogonalen Geraden sprechen zu können, würde ich
> schon erwarten, daß sie sich schneiden.
uh, das ist gut: Ich hatte ja (glaube ich) eine Definition gegeben, wo dieser
Aspekt unberücksigt geblieben war. Das war jetzt aber durchaus auch eher
eine, wie ich sowas definieren würde (auch im [mm] $\IR^n$).
[/mm]
Prinzipiell ist das aber wirklich reine Definitionssache, aber bzgl. der
Aufgabenstellung scheint es so, dass der Aufgabensteller evtl. auch die
gleiche Erwartung hatte, wie Du sie hast. Ich hätte sie (nach wie vor)
nicht! 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Mo 28.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Ich hatte mich vorher mit Geraden im [mm]\IR^2[/mm] beschäftigt,
> dort gilt:
> [m]g_1 \perp g_2 \gdw m_1 * m_2 = -1[/m]
ja, und weißt Du auch, wie man das mit Vektoren begründet?
Seien
[mm] $g_1:=\{(x,y):\;\; (x,y)=(a_1,a_2)+r*(b_1,b_2):\;\;r \in \IR\}$
[/mm]
sowie
[mm] $g_2:=\{(x,y):\;\; (x,y)=(c_1,c_2)+r*(d_1,d_2):\;\;r \in \IR\}\,,$
[/mm]
wobei
[mm] $a_1,a_2,c_1,c_2 \in \IR$ [/mm] fest und auch
[mm] $b_1b_2,d_1,d_2 \in \IR$ [/mm] fest mit zudem [mm] $b_1 \not=0$ [/mm] und [mm] $b_2 \not=0\,,$
[/mm]
wobei die letzten Gleichungen hier sicherstellen sollen, dass die Geraden
NICHT parallel zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] sind (siehe Definition "Funktion" - was geht
sonst schief, wenn wir Geraden mit einer "Funktionsdefinierenden Gleichung"
beschreiben wollen?)!
Dann
[mm] $g_1 \perp g_2$
[/mm]
[mm] $\iff$ $(b_1,b_2) \perp (d_1,d_2)$
[/mm]
[mm] $\iff$ $b_1d_1+b_2d_2=0$
[/mm]
[mm] $\iff$ $b_1d_1=-b_2d_2$
[/mm]
[mm] $\iff$ $\frac{b_2}{b_1}*\frac{d_2}{d_1}\,=\,-\,1\,$ [/mm] (beachte: [mm] $b_1d_1 \not=0$)
[/mm]
Was ist hierbei nun
[mm] $b_2/b_1$
[/mm]
und was bedeutet
[mm] $d_2/d_1\,,$
[/mm]
wenn wir davon ausgehen, dass weder [mm] $g_1$ [/mm] noch [mm] $g_2$ [/mm] "parallel zur [mm] $y\,$-Achse"
[/mm]
verlaufen?
Gruß,
Marcel
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Hi Marcel, das sind die Steigungen der jeweiligen beiden Geraden....?
Nette Herleitung, aber wie bringt mich das weiter im [mm] \IR^3 [/mm] ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Di 29.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi Marcel, das sind die Steigungen der jeweiligen beiden
> Geraden....?
> Nette Herleitung, aber wie bringt mich das weiter im [mm]\IR^3[/mm]
> ;)
umgekehrt: Die Herleitung mit den Richtungsvektoren (zwei Geraden heißen
genau dann senkrecht, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren
Null ergibt, was ja gleichwertig dazu ist, dass die Richtungsvektoren
senkrecht aufeinander stehen) liefert Dir genau die Bedingung, dass das
Produkt der Steigungen Null ergibt; und umgekehrt. (Sofern denn der
Begriff "Steigung" definiert ist - Steigung [mm] $=+\infty$ [/mm] oder [mm] $=-\infty$ [/mm] lassen wir
hier ja gar nicht zu; zudem bleibt auch [mm] $0*\pm \infty$ [/mm] bzw. [mm] $\pm \infty*0$ [/mm] undefiniert!).
Natürlich kann man sich sowas (etwa mit dem "Tangens") auch anders
herleiten, aber es geht mir eher darum, dass die obige "zweidimensionale
Anschauung" vollkommen analog in den [mm] $\IR^3$ [/mm] übertragbar ist. (Bzw.
besser gesagt: "Richtungsvektoren senkrecht" ist im [mm] $\IR^2$ [/mm] "i.W.
gleichwertig" zu dem altbekannten 'Produkt der Steigungen soll -1 ergeben'
und kann daher auch dafür genutzt werden, eine erweiterte Definition,
wann zwei Geraden im [mm] $\IR^3$ [/mm] senkrecht heißen mögen, zu geben).
P.S. Das "i.W. gleichwertig" formulierte ich so, weil wir bei der
"Steigungsprodukt-gleich-Minus-1"-Charakterisierung noch die
Einschränkung hatten, dass wir eine Gerade überhaupt mit einer
"Funktionsdefinierenden Gleichung" beschreiben konnten! Dieses Problem
haben wir bei der Definition mit den Richtungsvektoren übrigens keineswegs!
(In diesem Sinne haben wir also, wenn auch nur minimal, schon im [mm] $\IR^2$
[/mm]
den Begriff, wann zwei Geraden dort senkrecht aufeinander heißen mögen,
erweitert.)
Gruß,
Marcel
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