Orthogonalität von Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
c & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Berechnen sie C damit die Basis B orthogonal verläuft |
Da ich grade total auf dem Schlauch stehe wie das nochmal ging, wäre ich für eine kurze Einführung sehr erfreut ;)
Es reicht schon wenn ihr mir sagt was die Bedinung für Orthogonaltität ist, damit müsste ich es schon lösen können (bitte aber kein Fachkaudawelsch :D)
Danke & Gruß
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
|
|
| |
|
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
c & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Berechnen sie C damit die Basis B orthogonal verläuft
Hallo,
so, wie Du es dastehen hast, lautet die Aufgabe unter Garantie nicht.
Variante A:
Du sollst sagen, wie c lauten muß, damit die Matrix [mm] M:=\pmat{ 1 & 2 \\ c & 1 } [/mm] orthogonal ist.
Da hast Du schlechte Karten, denn M orthogonal <==> [mm] M^{T}M=MM^{T}=E_2.
[/mm]
Variante B:
Du sollst sagen, für welches c die Spaltenvektoren der obigen Matrix eine Orthogonalbasis des [mm] \IR^2 [/mm] bilden.
In diesem Fall mußt Du schauen, für welches c das Skalarprodukt von [mm] \vektor{1 \\ c} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] =0 ist. Denn dann sind die Vektoren ja orthogonal.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Ich denke es wird Variante A sein, ich weiß noch das ich es richtig hatte und das ich auch irgendwie mit Eigenwerten Arbeiten musste.
Das M^TM verstehe ich jetz nicht so genau kannst du das bitte genauer erklären?! Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 So 16.09.2007 | | Autor: | holwo |
Hallo,
ja, eine matrix ist M orthogonal genau dann wenn [mm] M^{T}M=E_{2} [/mm] wobei [mm] E_{2} [/mm] die einheitsmatrix ist also [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, [/mm] und [mm] M^{T} [/mm] die transponierte Matrix von M ist.
Das bedeutet, dass [mm] M^{T}=M^{-1} [/mm] also die matrix ist gleich ihre inverse
|
|
|
| |
|
Was wäre dann eine anschauliche Rechnung/Lösung meines oben genannten Problems? D.h. wie würd ich in einer Klausur an eine solche Aufgabe rangehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 So 16.09.2007 | | Autor: | holwo |
Hallo!
ich glaube nicht dass es variante A ist weil:
damit
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ c & 1}\pmat{ 1 & c \\ 2 & 1}=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}
[/mm]
muss c+2=0 und [mm] c^{2}+1=1
[/mm]
was keine lösung hat
außerdem ist [mm] 1+4\not=1
[/mm]
variante B:
Für welches c gilt: [mm] \vektor{1 \\ c}\vektor{2 \\ 1}=0 [/mm] ?
das ist: 2+c=0 also c=-2
aber bist du dir sicher dass die aufgabe so ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:35 Mo 17.09.2007 | | Autor: | man1ac1985 |
Ich habs noch rausgefunden wies geht: Ich rechne einfach die beiden Eigenvektoren aus, welche natürlich vom C abhängig sind! Dann einfach die beiden Eigenvektoren schnappen und das Skalarprodukt ausrechnen. Dieses hängt auch von c ab und dann einfach gleich 0 setzen. So ging die Aufgabe auf jeden Fall, bin mir absolut sicher ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 Mo 17.09.2007 | | Autor: | holwo |
und was wurde verlangt?
|
|
|
| |
|
> Ich habs noch rausgefunden wies geht: Ich rechne einfach
> die beiden Eigenvektoren aus, welche natürlich vom C
> abhängig sind! Dann einfach die beiden Eigenvektoren
> schnappen und das Skalarprodukt ausrechnen. Dieses hängt
> auch von c ab und dann einfach gleich 0 setzen. So ging die
> Aufgabe auf jeden Fall, bin mir absolut sicher ;)
Hallo,
dann hieß die Aufgabe wohl so:
wie muß man c wählen, damit es eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren gibt.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
