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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Rezzz |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Zahlen r und s so, dass [mm] \vec{a} [/mm] - r * [mm] \vec{b} [/mm] - s * [mm] \vec{c} [/mm] orthogonal zu [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] ist.
[mm] \vec{a} [/mm] = (-9/11/2) , [mm] \vec{b} [/mm] = (-4/0/1) , [mm] \vec{c} [/mm] = (-1/1/-2) |
Hallo,
bei der Aufgabe bin ich so vorgegangen:
Damit die Vekoren [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] orthogonal zu der Ebene (?) [mm] \vec{a} [/mm] - r * [mm] \vec{b} [/mm] - s * [mm] \vec{c} [/mm] sind, muss der Normalenvektor der Ebene ja linear abhängig von [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] sein.
Ich hab also mit dem Kreuzprodukt den Normalenvektor ausgerechnet und bin zu dem Ergebnis (-1/-9/-4) gekommen, was mich ja aber überhaupt nicht weiterbringt, da die Variablen r und s dann garnicht mehr vorkommen.
Ich geh also davon aus dass mein "Lösungs"weg vollkommen falsch ist, ich finde aber keinen anderen Ansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke
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Hallo rezzz,
Dein Lösungsweg ist gut, finde ich.
Es ist [mm] \vec{n}=\vec{b}\times\vec{c}=\vektor{-1 \\ -9 \\ -4}
[/mm]
editiertes Ergebnis! Ich ahbe falsch abgeschrieben; bei mir hatte c als letzte Komponente [mm] \red{+} [/mm] 2. Dann ist das Ergebnis natürlich ein anderes.
Jetzt nimmst Du die Gleichung [mm] \vec{a}-r*\vec{b}-s*\vec{c}-t*\vec{n}=\vec{0}.
[/mm]
Daraus gewinnst Du drei Gleichungen für die drei Koordinaten, ein normales LGS, das Du nur noch lösen musst. Was dabei für t herauskommt, ist unwichtig, du brauchst nur r und s. Vielleicht ist es daher besser, die obige Gleichung etwas anders umzustellen:
[mm] t*\vec{n}+r*\vec{b}+s*\vec{c}=\vec{a}
[/mm]
Jetzt Du.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Rezzz |
Hallo,
ich habe -9 statt +7 heraus, da ich vor der Berechnung des Kreuzproduktes das Minus vor dem r * [mm] \vec{b} [/mm] und vor dem s * [mm] \vec{c} [/mm] zu einem Plus gemacht habe, damit die Ebenengleichung schön "normal" aussieht =)
Ist diese Vorgehensweise also nicht erlaubt?
Ich verstehe deine Formel nicht so ganz. Müsste ich nicht um lineare Abhängigkeit zu beweisen
x * [mm] (\vec{a}- [/mm] r * [mm] \vec{b} [/mm] - s * [mm] \vec{c} [/mm] = (-1 / -9 / -4)
(bzw. +7 statt -9 ;) rechnen, also zeigen dass der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist?
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Nein, du kannst natürlich nicht eigenmächtig die Vorzeichen umdrehen! :p
Ein Vektor an sich ist natürlich sowohl mit + als auch - derselbe Vektor, wenn du alle Zahlen mit (-1) multiplizierst, ob nun also (1/1/1) oder (-1/-1/-1), es ist der selbe Vektor, aber die Vorzeichen davor sind wichtig, denn das Vorzeichen gilt ja auch für den Parameter r. -r wird ja in den Vektor einmultipliziert.
Abgesehen davon ist das aber zur Bestimmung von [mm] \vec{n} [/mm] undwichtig, denn dafür musst du nur b und c kreuzen und die sind ja direkt angegeben, also nimmst du auch nur diese Angabe
DIe richtige Lösung ist demnach (-1/-9/-4)!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:54 So 11.01.2009 | | Autor: | Rezzz |
Ich hatte in meine letzte Antwort noch etwas editiert, was aber anscheinend etwas untergegangen ist und ich hab auch nicht herausgefunden, wie ich den Status der Frage wieder auf 'rot' stellen kann.
@reverend:
Ich verstehe deine Formel nicht so ganz. Müsste ich nicht um lineare Abhängigkeit zu beweisen
x * ( [mm] \vec{a} [/mm] - r * [mm] \vec{b} [/mm] - s * [mm] \vec{c} [/mm] ) = (-1 / -9 / -4)
rechnen, also zeigen dass der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist?
Vielen Dank euch beiden soweit!
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> Ich hatte in meine letzte Antwort noch etwas editiert, was
> aber anscheinend etwas untergegangen ist und ich hab auch
> nicht herausgefunden, wie ich den Status der Frage wieder
> auf 'rot' stellen kann.
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> @reverend:
> Ich verstehe deine Formel nicht so ganz. Müsste ich nicht
> um lineare Abhängigkeit zu beweisen
>
> x * ( [mm]\vec{a}[/mm] - r * [mm]\vec{b}[/mm] - s * [mm]\vec{c}[/mm] ) = (-1 / -9 / -4)
>
> rechnen, also zeigen dass der eine Vektor ein Vielfaches
> des anderen ist?
Hallo,
ich nenne den Vektor [mm]\vec{a}[/mm] - r *[mm]\vec{b}[/mm] - s *[mm]\vec{c}[/mm] jetzt mal [mm] \vec{d}, [/mm] also
[mm] \vec{d}:=[/mm] [mm]\vec{a}[/mm] - r *[mm]\vec{b}[/mm] - s *[mm]\vec{c}[/mm] .
Ob Du nun schaust, ob [mm] \vec{d} [/mm] ein Vielfaches von [mm] \vektor{-1\\-9\\-4} [/mm] ist, ob es also ein t gibt mit [mm] \vec{d}=t* \vektor{-1\\-9\\-4},
[/mm]
oder ob Du schaust, ob [mm] \vektor{-1\\-9\\-4} [/mm] ein Vielfaches von [mm] \vec{d} [/mm] ist, ob es also ein x gibt mit [mm] \vektor{-1\\-9\\-4}=x*\vec{d},
[/mm]
macht doch keinen Unterschied, sofern nicht einer der Vektoren der Nullvektor [mm] \vektor{-1\\-9\\-4}, \vec{d} [/mm] der Nullvektor ist.
Gruß v. Angela
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> Bestimmen Sie Zahlen r und s so, dass [mm]\vec{a}[/mm] - r * [mm]\vec{b}[/mm]
> - s * [mm]\vec{c}[/mm] orthogonal zu [mm]\vec{b}[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm] ist.
>
> [mm]\vec{a}[/mm] = (-9/11/2) , [mm]\vec{b}[/mm] = (-4/0/1) , [mm]\vec{c}[/mm] =
> (-1/1/-2)
Hallo,
ich würde hier einen anderen Lösungsweg wählen.
Wenn [mm]\vec{a}[/mm] - r * [mm]\vec{b}[/mm] senkrecht sein soll zu [mm]\vec{b}[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm] ,
so ist das Skalarprodukt diese Vektors mit [mm]\vec{b}[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm] jeweils=0.
Daraus erhältst Du direkt ein LGS aus zwei Gleichungen in den Variablen r und s, welches Du nun lösen kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 So 11.01.2009 | | Autor: | Rezzz |
Hallo,
ich habe dann so gerechnet:
[ (-9 / 11 / 2) - r *(-4 / 0 / 1 ) - s * (-1/1/-2) ] * (-4 / 0 / 1) * (-1 / 1 / -2) = 0
Damit komme ich übers LGS aber auch nicht zum erwünschten Ergebnis (r=s=2) :(
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> Hallo,
> ich habe dann so gerechnet:
>
> [ (-9 / 11 / 2) - r *(-4 / 0 / 1 ) - s * (-1/1/-2) ] * (-4
> / 0 / 1) * (-1 / 1 / -2) = 0
>
> Damit komme ich übers LGS aber auch nicht zum erwünschten
> Ergebnis (r=s=2) :(
Hallo,
da oben hast Du ja auch Quatsch stehen: auf der linken Seite einen vektor und rechts ein Zahl. Oh weh.
Was will man? Daß der Vektor [ (-9 / 11 / 2) - r *(-4 / 0 / 1 ) - s * (-1/1/-2) ] sowohl senkrecht ist zu [mm] \vec{b} [/mm] als auch zu [mm] \vec{c}.
[/mm]
Den Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und "senkrecht" kennst Du?
Es muß gelten
[ (-9 / 11 / 2) - r *(-4 / 0 / 1 ) - s * (-1/1/-2) ] * (-4 / 0 / 1)=0
und
[ (-9 / 11 / 2) - r *(-4 / 0 / 1 ) - s * (-1/1/-2) ] *(-1 / 1 / -2) = 0.
Da ist dein LGS .
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