Orthogonalprojektionen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:50 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Richler |
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt < . , . >.
1.) Sei f [mm] \in [/mm] L(V, V ) eine Projektion, d.h. es gilt [mm] f^{2}:= [/mm] f ° f = f. Zeigen Sie, dass f genau dann selbstadjungiert ist, wenn Kern(f) [mm] \perp [/mm] Bild(f) gilt.
Bemerkung: Eine selbstadjungierte Projektion heißt daher Orthogonalprojektion.
2.) Sei u [mm] \in [/mm] V mit [mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel [/mm] = 1. Zeigen Sie, dass f : V -> V , v [mm] \mapsto [/mm] <v,v> u , eine Orthogonalprojektion ist und bestimmen Sie Kern(f) und Bild(f). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebes Forum =) ,
ich habe bei den beiden Aufgaben doch einige Probleme, aber habe auch schon einiges gemacht, also fang ich einfach mal an :D .
1.) [mm] "\Rightarrow" [/mm] : Es gilt < [mm] x_{1} [/mm] , [mm] f(x_{2}) [/mm] > = < [mm] f(x_{1}) [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] > [mm] \forall x_{1} [/mm] , [mm] x_{2} \in [/mm] V .
[mm] \Rightarrow [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] , [mm] f(x_{2}) [/mm] > - < [mm] f(x_{1}) [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] > = 0 | + [mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] , [mm] f(x_{2}) [/mm] > - < f [mm] (x_{1}) [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] > + [mm]
[mm] (\*) \gdw
[mm] \gdw
[mm] x_{1}- f(x_{1} \in [/mm] Kern(f) , [mm] x_{2} \in [/mm] Bild(f)
Nach der Definition des Kerns wissen wir, dass Kern: = [mm] \{ x_{1} | f(x_{1}) = 0 \} [/mm] . Da [mm] x_{1}- f(x_{1} \in [/mm] Kern(f) , ist somit [mm] x_{1}- [/mm] 0 [mm] \in [/mm] Kern(f) und somit [mm] x_{1} \in [/mm] Kern(f)
Also [mm]
Nun setzen wir [mm]
[mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 = - < [mm] x_{1} [/mm] , [mm] f(x_{2}) [/mm] > = < [mm] x_{1} [/mm] , [mm] f(x_{2}) [/mm] >
Dann wissen wir auch, dass 0 = < [mm] f(x_{1}) [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] > ist. Wegen der Definition des Skalarproduktes wissen wir , dass [mm] f(x_{1}) [/mm] = 0 = [mm] x_{2} [/mm] , sowie [mm] x_{1} [/mm] = 0 = [mm] f(x_{2})
[/mm]
Da [mm]
Somit ist die Hinrichtung gezeigt.
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Hier ist mein Problem, dass ich das nur hin bekomme, wenn ich sage, dass [mm] x_{1}- f(x_{1} \in [/mm] Kern(f) , [mm] f(x_{2}) \in [/mm] Bild(f) , aber oben sage ich ja, dass [mm] x_{1}- f(x_{1} \in [/mm] Kern(f) , [mm] x_{2} \in [/mm] Bild(f).
[mm]
So ist es ja nicht schwer, kann ich bei der Hinrichtung sagen, dass [mm] x_{1}- f(x_{1} \in [/mm] Kern(f) , [mm] x_{2} \in [/mm] Bild(f) und bei der Rückrichtung, dass [mm] x_{1}- f(x_{1} \in [/mm] Kern(f) , [mm] f(x_{2}) \in [/mm] Bild(f) ? Und wenn ich das bei der Hinrichtung auch so machen muss, wie kann ich das dann so abändern?
2.) [mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel [/mm] = 1 [mm] \gdw [/mm] <u,u>^{0.5} = 1 [mm] \gdw [/mm] <u,u> = [mm] 1^{2} \gdw [/mm] <u,u> = 1
Was muss hier jetzt genau gezeigt werden? Eigentlich muss ich doch bloß zeigen, dass f : V -> V , v [mm] \mapsto [/mm] <v,v> u mit <u,u> = 1 u [mm] \in [/mm] V eine selbstadjungierte Projektion ist, oder? Das heißt, dass ich eigentlich zeigen muss, dass f ° f = f und Kern(f) [mm] \perp [/mm] Bild(f) oder f selbstadjungiert ist.
Meine erste Frage dazu lautet: Sind hier die Variablen nicht ein bisschen unglücklich gewählt? Nach der Aufgabenstellung betrachtet man doch höchstens [mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel [/mm] = 1 , da u ja komplett außerhalb steht: <v,v> u . Oder verstehe ich das falsch, aber ansonsten ist die Aussage [mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel [/mm] = 1 doch total unnötig, oder?
Außerdem wie kann ich hier zeigen, dass f ° f = f? Wir wissen, dass f ° f = f(f(v)) , also f ° f = f(f(v)) [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V . Dies müsste ja bedeuten, dass f ° f = f(f(v)) = f( <v,v> u ) = <<v,v> u , <v,v> u> für u [mm] \in [/mm] V. Gut ich sehe gerade, dass es hier doch wieder Sinn machen könnte, [mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel [/mm] = 1 so zu definieren. Jetzt muss ich zeigen, dass <<v,v> u , <v,v> u> = <v,v> u gilt.
Hier habe ich jetzt keine Idee, wie ich das Umformen kann. Man kann u ja auch nicht als Skalar behandeln, sodass ich es reinziehen könnte. Also Hilfe wäre hier dringend erforderlich ^^ .
Was ist jetzt hier leichter zu zeigen, dass Kern(f) [mm] \perp [/mm] Bild(f) oder f selbstadjungiert ist?
Ich hoffe auf eure Hilfe =)
Liebe Grüße
Richler
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Richler |
Kann mir denn keiner helfen :-( ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:40 Do 23.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt
> < . , . >.
>
> 1.) Sei f [mm]\in[/mm] L(V, V ) eine Projektion, d.h. es gilt
> [mm]f^{2}:=[/mm] f ° f = f. Zeigen Sie, dass f genau dann
> selbstadjungiert ist, wenn Kern(f) [mm]\perp[/mm] Bild(f) gilt.
> Bemerkung: Eine selbstadjungierte Projektion heißt daher
> Orthogonalprojektion.
>
> 2.) Sei u [mm]\in[/mm] V mit [mm]\parallel[/mm] u [mm]\parallel[/mm] = 1. Zeigen Sie,
> dass f : V -> V , v [mm]\mapsto[/mm] <v,v> u , eine
> Orthogonalprojektion ist und bestimmen Sie Kern(f) und
> Bild(f).
Die Abb. f lautet sicher nicht so. Obiges f ist ja noch nicht mal linear !!!
Sondern f(v)=<v,u>u
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo liebes Forum =) ,
>
> ich habe bei den beiden Aufgaben doch einige Probleme, aber
> habe auch schon einiges gemacht, also fang ich einfach mal
> an :D .
>
> 1.) [mm]"\Rightarrow"[/mm] : Es gilt < [mm]x_{1}[/mm] , [mm]f(x_{2})[/mm] > = <
> [mm]f(x_{1})[/mm] , [mm]x_{2}[/mm] > [mm]\forall x_{1}[/mm] , [mm]x_{2} \in[/mm] V .
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] < [mm]x_{1}[/mm] , [mm]f(x_{2})[/mm] > - < [mm]f(x_{1})[/mm] , [mm]x_{2}[/mm] > = 0
> | + [mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] < [mm]x_{1}[/mm] , [mm]f(x_{2})[/mm] > - < f [mm](x_{1})[/mm] , [mm]x_{2}[/mm] > +
> [mm]
>
> [mm](\*) \gdw
> [mm]
>
> [mm]\gdw
> >
>
> [mm]x_{1}- f(x_{1} \in[/mm] Kern(f) , [mm]x_{2} \in[/mm] Bild(f)
>
> Nach der Definition des Kerns wissen wir, dass Kern: = [mm]\{ x_{1} | f(x_{1}) = 0 \}[/mm]
> . Da [mm]x_{1}- f(x_{1} \in[/mm] Kern(f) , ist somit [mm]x_{1}-[/mm] 0 [mm]\in[/mm]
> Kern(f) und somit [mm]x_{1} \in[/mm] Kern(f)
>
> Also [mm]
> > [mm]\gdw
> [mm]\Rightarrow
>
> Nun setzen wir [mm]
> > = [mm]
>
> [mm]
> - < [mm]f(x_{1})[/mm] , [mm]x_{2}[/mm] > = [mm]
> [mm]x_{2}[/mm] > - < [mm]x_{1}[/mm] , [mm]f(x_{2})[/mm] >
>
> [mm]\gdw[/mm] 0 = - < [mm]x_{1}[/mm] , [mm]f(x_{2})[/mm] > = < [mm]x_{1}[/mm] , [mm]f(x_{2})[/mm] >
>
> Dann wissen wir auch, dass 0 = < [mm]f(x_{1})[/mm] , [mm]x_{2}[/mm] > ist.
> Wegen der Definition des Skalarproduktes wissen wir , dass
> [mm]f(x_{1})[/mm] = 0 = [mm]x_{2}[/mm] , sowie [mm]x_{1}[/mm] = 0 = [mm]f(x_{2})[/mm]
>
> Da [mm]
> , [mm]x_{2}[/mm] > = 0.
>
> Somit ist die Hinrichtung gezeigt.
>
> [mm]"\Leftarrow":[/mm] Hier ist mein Problem, dass ich das nur hin
> bekomme, wenn ich sage, dass [mm]x_{1}- f(x_{1} \in[/mm] Kern(f) ,
> [mm]f(x_{2}) \in[/mm] Bild(f) , aber oben sage ich ja, dass [mm]x_{1}- f(x_{1} \in[/mm]
> Kern(f) , [mm]x_{2} \in[/mm] Bild(f).
>
> [mm]
> [mm]f(x_{2})[/mm] > = [mm]
> ( [mm]x_{2}[/mm] - [mm]f(x_{2})[/mm] ) > = [mm]
>
> So ist es ja nicht schwer, kann ich bei der Hinrichtung
> sagen, dass [mm]x_{1}- f(x_{1} \in[/mm] Kern(f) , [mm]x_{2} \in[/mm] Bild(f)
> und bei der Rückrichtung, dass [mm]x_{1}- f(x_{1} \in[/mm] Kern(f)
> , [mm]f(x_{2}) \in[/mm] Bild(f) ? Und wenn ich das bei der
> Hinrichtung auch so machen muss, wie kann ich das dann so
> abändern?
Was Du da oben treibst ist nur schwer zur verfolgen. Ich denke so wird das nix, denn ich sehe nicht so recht, dass Du die Vor. [mm] f^2=f [/mm] wirklich benutzt.
Mach Dir klar, dass aus [mm] f^2=f [/mm] folgt:
1. V=Kern(f) [mm] \oplus [/mm] Bild(f)
und
2. Bild(f)= [mm] \{v \in V:f(v)=v\}
[/mm]
Ich mach Dir mal $ [mm] "\Rightarrow" [/mm] $ vor:
Sei x [mm] \in [/mm] Kern(f) und y [mm] \in [/mm] Bild(f): Dann
<x,y>=<x,f(y)>=<f(x),y>=<0,y>=0.
>
> 2.) [mm]\parallel[/mm] u [mm]\parallel[/mm] = 1 [mm]\gdw[/mm] <u,u>^{0.5} = 1 [mm]\gdw[/mm]
> <u,u> = [mm]1^{2} \gdw[/mm] <u,u> = 1
>
> Was muss hier jetzt genau gezeigt werden? Eigentlich muss
> ich doch bloß zeigen, dass f : V -> V , v [mm]\mapsto[/mm] <v,v> u
> mit <u,u> = 1 u [mm]\in[/mm] V eine selbstadjungierte Projektion
> ist, oder? Das heißt, dass ich eigentlich zeigen muss,
> dass f ° f = f und Kern(f) [mm]\perp[/mm] Bild(f) oder f
> selbstadjungiert ist.
>
> Meine erste Frage dazu lautet: Sind hier die Variablen
> nicht ein bisschen unglücklich gewählt? Nach der
> Aufgabenstellung betrachtet man doch höchstens [mm]\parallel[/mm] v
> [mm]\parallel[/mm] = 1 , da u ja komplett außerhalb steht: <v,v> u
> . Oder verstehe ich das falsch, aber ansonsten ist die
> Aussage [mm]\parallel[/mm] u [mm]\parallel[/mm] = 1 doch total unnötig,
> oder?
>
> Außerdem wie kann ich hier zeigen, dass f ° f = f? Wir
> wissen, dass f ° f = f(f(v)) , also f ° f = f(f(v))
> [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V . Dies müsste ja bedeuten, dass f ° f
> = f(f(v)) = f( <v,v> u ) = <<v,v> u , <v,v> u> für u [mm]\in[/mm]
> V. Gut ich sehe gerade, dass es hier doch wieder Sinn
> machen könnte, [mm]\parallel[/mm] u [mm]\parallel[/mm] = 1 so zu definieren.
> Jetzt muss ich zeigen, dass <<v,v> u , <v,v> u> = <v,v> u
> gilt.
>
> Hier habe ich jetzt keine Idee, wie ich das Umformen kann.
> Man kann u ja auch nicht als Skalar behandeln, sodass ich
> es reinziehen könnte. Also Hilfe wäre hier dringend
> erforderlich ^^ .
>
> Was ist jetzt hier leichter zu zeigen, dass Kern(f) [mm]\perp[/mm]
> Bild(f) oder f selbstadjungiert ist?
Wie oben gesagt: f(v)=<v,u>u
FRED
>
> Ich hoffe auf eure Hilfe =)
>
> Liebe Grüße
>
> Richler
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Mi 29.05.2013 | | Autor: | Richler |
danke für die Hilfe =)
|
|
|
|
