Orthogonalraum - Mengen < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Fr 29.01.2010 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | Im [mm] IR^n [/mm] sei ein affiner Unterraum v+U gegeben, U ein UVR. Sei [mm] U^\perp [/mm] der Orthogonalraum bzg. des kan. Skalarproduktes, [mm] (v_1,...,v_m) [/mm] eine basis von [mm] U^\perp [/mm] und [mm] A\inIR^mxn [/mm] die Matrix mit [mm] v_1,...,v_m [/mm] als Zeilenvektoren.
Zeigen Sie: Mit b:= Av gilt Lös(A,b)=v+U. |
Hallo,
habe mir bis jetzt bloß klar machen können, dass ich eine mengengleichheit zeigen muss, also dass ei Elemnet aus der menge links in der rechten menge enthalten ist und andres herum. Aber irgendwie will mir der Beweis nicht gelingen!
Kann mir bitte jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:05 Sa 30.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo Lari
was ist denn Lös(A,b)?
Gruss leduart
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> Hallo Lari
> was ist denn Lös(A,b)?
> Gruss leduart
Hallo,
das ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems Ax=b.
Gruß v. Angela
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> Im [mm]IR^n[/mm] sei ein affiner Unterraum v+U gegeben, U ein UVR.
> Sei [mm]U^\perp[/mm] der Orthogonalraum bzg. des kan.
> Skalarproduktes, [mm](v_1,...,v_m)[/mm] eine basis von [mm]U^\perp[/mm] und
> [mm]A\inIR^mxn[/mm] die Matrix mit [mm]v_1,...,v_m[/mm] als Zeilenvektoren.
> Zeigen Sie: Mit b:= Av gilt Lös(A,b)=v+U.
> Hallo,
>
> habe mir bis jetzt bloß klar machen können, dass ich eine
> mengengleichheit zeigen muss, also dass ei Elemnet aus der
> menge links in der rechten menge enthalten ist und andres
> herum. Aber irgendwie will mir der Beweis nicht gelingen!
Hallo,
"irgendwie" ist zu wenig.
Wir müssen schon sehen, was Du gedacht und versucht hast.
Da ich das nicht weiß, gehe ich zunächst davon aus, daß Dir die Aufgabe unklar ist.
> Kann mir bitte jemand helfen?
Ich mache jetzt mal ein Beispiel im [mm] \IR^3, [/mm] an welchem man vielleicht etwas besser versteht, worum es geht.
Es sei [mm] U:=<\vektor{1\\2\\3}>, v:=\vektor{4\\5\\6},
[/mm]
der zu betrachtende affine Unterraum also [mm] v+U=\vektor{4\\5\\6}+<\vektor{1\\2\\3}>.
[/mm]
(Anschaulich: eine Gerade des [mm] \IR^3.)
[/mm]
[mm] U^{\perp} [/mm] ist der Orthogonalraum.
Wie ist dieser Raum definiert?
Was gilt für die Basis dieses Raumes?
Wie kannst Du eine Basis dieses Raumes berechnen?
Es ist [mm] U^{\perp}=<\vektor{5\\-1\\-1}, \vektor{1\\-2\\1}>
[/mm]
(Anschaulich: eine zu der Geraden von oben senkrechte Ebene, die durch den Ursprung geht.)
Jetzt betrachten wir das GS Ax=b für [mm] A:=\pmat{5&-1&-1\\1&-2&1}, b:=Av=\vektor{9\\0},
[/mm]
und Du kannst Dich davon überzeugen, daß der Lösungsraum tatsächlich v+U ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Sa 30.01.2010 | | Autor: | LariC |
Hallo, erstaml vien Dank für die Mühe!
> Ich mache jetzt mal ein Beispiel im [mm]\IR^3,[/mm] an welchem man
> vielleicht etwas besser versteht, worum es geht.
>
> Es sei [mm]U:=<\vektor{1\\2\\3}>, v:=\vektor{4\\5\\6},[/mm]
>
> der zu betrachtende affine Unterraum also
> [mm]v+U=\vektor{4\\5\\6}+<\vektor{1\\2\\3}>.[/mm]
>
> (Anschaulich: eine Gerade des [mm]\IR^3.)[/mm]
>
Also bis hierhin gubt es ja noch nict so viel zu versthen, also: klar!
> [mm]U^{\perp}[/mm] ist der Orthogonalraum.
>
> Wie ist dieser Raum definiert?
Er ist definiert als die Mnege, die alle Vektoren w enthält, die zu allen Vektoren v aus U ortogonal sind, deren Skalarprodukt also Null ist!
> Was gilt für die Basis dieses Raumes?
Das weiß ich leider nicht genau, es sei denn hier besteht eine Verbindung zur Orthogonalbasis(komme ich nur gerade wegen des Namens drauf)?! Dann wären alle Vektoreb der Basis othogonal zueinender!
> Wie kannst Du eine Basis dieses Raumes berechnen?
Ich denke mal ich muss Den UVR erstmal betsiimen und dann gucken,dass ich Vektoren finde die ALLE Zueinander orthogional sind!
> Es ist [mm]U^{\perp}=<\vektor{5\\-1\\-1}, \vektor{1\\-2\\1}>[/mm]
Wie kommst du auf dieses Werte?
> (Anschaulich: eine zu der Geraden von oben senkrechte
> Ebene, die durch den Ursprung geht.)
>
> Jetzt betrachten wir das GS Ax=b für
> [mm]A:=\pmat{5&-1&-1\\1&-2&1}, b:=Av=\vektor{9\\0},[/mm]
>
> und Du kannst Dich davon überzeugen, daß der Lösungsraum
> tatsächlich v+U ist.
Das ist nmir dann wieder klar!
>
> Gruß v. Angela
Also ich denke das Grundprinzip der Aufgabe ist mir klar, aber um die Lösen zu können, müsste ich dann ja schon wissen, wie ich die Basis des Orthogonalraums finde - wie geht das denn? Ist das einfach das Gram schmidt verfahren ohne die normalisierung!?
LG LariC
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> Also ich denke das Grundprinzip der Aufgabe ist mir klar,
> aber um die Lösen zu können, müsste ich dann ja schon
> wissen, wie ich die Basis des Orthogonalraums finde - wie
> geht das denn?
Hallo,
Du hast es eigentlich schon gesagt:
in [mm] U^{\perp} [/mm] sind die Vektoren, die zu all denen aus U senkrecht sind.
Wenn [mm] (v_1, [/mm] ..., [mm] v_k) [/mm] also eine Basis von U ist,
dann lösen alle [mm] x\in [/mm] U die Gleichungen [mm] v_i^{T}x=0.
[/mm]
Es ist also [mm] U^{\perp} [/mm] der Kern von [mm] \vektor{v_1^{T}\\ \vdots \\v_k^{T}}, [/mm]
und ich nehme doch stark an, daß das bei Aufgabe wichtig ist.
(In der Aufgabe ist allerdings die Basis von [mm] U^{\perp} [/mm] vorgegeben und nicht die von U )
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Sa 30.01.2010 | | Autor: | LariC |
> Hallo,
>
> Du hast es eigentlich schon gesagt:
>
> in [mm]U^{\perp}[/mm] sind die Vektoren, die zu all denen aus U
> senkrecht sind.
>
> Wenn [mm](v_1,[/mm] ..., [mm]v_k)[/mm] also eine Basis von U ist,
>
Mmmh...das macht für mich ehrlich gesgat keinen Sinn, warum sind sie nicht Basis von [mm] U^{\perp} [/mm] ?
Dann würde das nachfolgende für mich viel mehr Sinn machen - so she ich dann den Zusammenhang nicht zum folgenden:
> dann lösen alle [mm]x\in[/mm] U die Gleichungen [mm]v_i^{T}x=0.[/mm]
>
> Es ist also [mm]U^{\perp}[/mm] der Kern von [mm]\vektor{v_1^{T}\\ \vdots \\v_k^{T}},[/mm]
>
> und ich nehme doch stark an, daß das bei Aufgabe wichtig
> ist.
>
>
> (In der Aufgabe ist allerdings die Basis von [mm]U^{\perp}[/mm]
> vorgegeben und nicht die von U )
>
Und wenn es jetzt nicht so wäre? Wioe würde ich die bais des Ortogonalraums denn jetzt konkret ausrechen? Etwa indem ich die x von oben berechne?
> Gruß v. Angela
Gruß zurück :)
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> > Hallo,
> >
> > Du hast es eigentlich schon gesagt:
> >
> > in [mm]U^{\perp}[/mm] sind die Vektoren, die zu all denen aus U
> > senkrecht sind.
> >
> > Wenn [mm](v_1,[/mm] ..., [mm]v_k)[/mm] also eine Basis von U ist,
> >
>
> Mmmh...das macht für mich ehrlich gesgat keinen Sinn,
> warum sind sie nicht Basis von [mm]U^{\perp}[/mm] ?
Weil ich grad mal beschlossen hatte, eine Basis von U zu nehmen.
> Dann würde das nachfolgende für mich viel mehr Sinn
> machen - so she ich dann den Zusammenhang nicht zum
> folgenden:
> > dann lösen alle [mm]x\in[/mm] [mm] U^{\red{\perp}} [/mm] die Gleichungen [mm]v_i^{T}x=0.[/mm]
Das kleine Orthogonalzeichen hatte ich leider vergessen.
> >
> > Es ist also [mm]U^{\perp}[/mm] der Kern von [mm]\vektor{v_1^{T}\\ \vdots \\v_k^{T}},[/mm]
> >
> > und ich nehme doch stark an, daß das bei Aufgabe wichtig
> > ist.
> >
> >
> > (In der Aufgabe ist allerdings die Basis von [mm]U^{\perp}[/mm]
> > vorgegeben und nicht die von U )
> >
>
> Und wenn es jetzt nicht so wäre? Wioe würde ich die bais
> des Ortogonalraums denn jetzt konkret ausrechen? Etwa indem
> ich die x von oben berechne?
Ja. Den Kern von [mm] \vektor{v_1^{T}\\ \vdots \\v_k^{T}}.
[/mm]
Wenn ich den Orthogonalraum von [mm] <\vektor{1\\2\\3\\4},\vektor{5\\6\\7\\8}> [/mm] wissen will, dann suche ich alle [mm] x\in \IR^4 [/mm] mit
[mm] \pmat{1&&3&4}*x=0 [/mm] und [mm] \pmat{5&6&7&8}x=0,
[/mm]
berechne also den Kern von [mm] \pmat{1&2&3&4\\5&6&7&8}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Sa 30.01.2010 | | Autor: | LariC |
Nur noch mal zum Verständnis:
IN deinem Bsp. wäre doch dann jetzt die Basis des Orthogonalraumes:
B=((1 2 3 4),(0 1 2 3))
Wäre das korrekt?!
Aber wie kann ich denn jetzt wieder damit v+U darstellen?
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> Nur noch mal zum Verständnis:
> IN deinem Bsp. wäre doch dann jetzt die Basis des
> Orthogonalraumes:
> B=((1 2 3 4),(0 1 2 3))
> Wäre das korrekt?!
Hallo,
also erstens mal sind meine vektoren Spalten, und zweitens:
wie hast Du das ausgerechnet?
Gruß v. Angela
>
> Aber wie kann ich denn jetzt wieder damit v+U darstellen?
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Sa 30.01.2010 | | Autor: | LariC |
Ich habe einfach ein paar Zeilenumformungen an deiner Matrix durch
geführt um l. u. Vektoren als basis zu finden - habe allerdings die Spalten dann als Zeilen genommen :(
(Schade - jetzt bin ich wieder an einem Punkt angekommen, wo ich denke ich raffe es nie - es gibt einfach soo viel zu beachten!)
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> Ich habe einfach ein paar Zeilenumformungen an deiner
> Matrix durch
> geführt um l. u. Vektoren als basis zu finden - habe
> allerdings die Spalten dann als Zeilen genommen :(
Hallo,
ja, solchen Unfug darfst Du auch nicht machen.
Wenn Du ein GS löst, kannst Du doch nicht einfach aus Jux und Dollerei die Matrix transponieren!
Generell würde ich darauf achten, kein Wirrwarr mit Zeilen und Spalten zu machen - auch nicht beim Tippen von Matheraumbeiträgen.
Man kann sich sonst selbst verrückt machen - wenn man nicht total über den Dingen steht.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:40 Sa 30.01.2010 | | Autor: | LariC |
Hey hätte no´cheinmal eine frage zu folgender Stelle:
> Jetzt betrachten wir das GS Ax=b für
> [mm]A:=\pmat{5&-1&-1\\1&-2&1}, b:=Av=\vektor{9\\0},[/mm]
>
> und Du kannst Dich davon überzeugen, daß der Lösungsraum
> tatsächlich v+U ist.
Das kann ich leider jetzt nicht so leicht nachvollziehen - der Lösunraum hat doch zwei tupel, wir können aber doch nur einen wert in der affinen unterraum einsetzen - Wo liegt da mein Fehler?
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> Hey hätte no´cheinmal eine frage zu folgender Stelle:
> > Jetzt betrachten wir das GS Ax=b für
> > [mm]A:=\pmat{5&-1&-1\\1&-2&1}, b:=Av=\vektor{9\\0},[/mm]
> >
> > und Du kannst Dich davon überzeugen, daß der Lösungsraum
> > tatsächlich v+U ist.
>
> Das kann ich leider jetzt nicht so leicht nachvollziehen -
> der Lösunraum hat doch zwei tupel, wir können aber doch
> nur einen wert in der affinen unterraum einsetzen - Wo
> liegt da mein Fehler?
Hallo,
kannst Du etwas deutlicher herausarbeiten, was Du meinst?
Welchen Lösungsraum des Systems errrechnet Du?
Ist er eine Teilmenge von v+U?
Löst jedes Element von v+U das System?
(Kann ja auch mal sein, daß ich mich verrechnet habe. Es wäre nicht das erste Mal.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Sa 30.01.2010 | | Autor: | LariC |
Also, ich kann es ja mal richtig ausführen:
[mm] Lös(A,b)=\pmat{ 5 & -1& -1& 9 \\ 1 & -2 & 1 & 0 }
[/mm]
Durch elementare ZU komme ich dann zu:
[mm] Lös(A,b)=\pmat{ 1 & 0 & -5/15 & 2 \\ 0 & 1 & -2/3 & 1 }
[/mm]
Das würde doch dann die folgende Parameterdarstelung ergeben:
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0}+\lambda*\vektor{5/15 \\ 2/3 \\ 1 }
[/mm]
Und jetzt frage ich mich, wo ich hier den Zusammenhang zum affinen Unterraum v+U shen soll :(
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> Also, ich kann es ja mal richtig ausführen:
>
>
> [mm]Lös(A,b)=\pmat{ 5 & -1& -1& 9 \\ 1 & -2 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Durch elementare ZU komme ich dann zu:
>
> [mm]Lös(A,b)=\pmat{ 1 & 0 & -5/15 & 2 \\ 0 & 1 & -2/3 & 1 }[/mm]
>
> Das würde doch dann die folgende Parameterdarstelung
> ergeben:
>
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+\lambda*\vektor{5/15 \\ 2/3 \\ 1 }[/mm]
[mm] =\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+\lambda*\vektor{1/3 \\ 2/3 \\ 1 }
[/mm]
[mm] =\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+\mu*\vektor{1 \\ 2 \\3 }
[/mm]
[mm] =\vektor{4 \\ 5 \\6 } +\mu*\vektor{1 \\ 2 \\3 }, [/mm] denn [mm] \vektor{4 \\ 5 \\6 } -\vektor{2 \\ 1 \\ 0} \in [/mm] U.
=v+U.
>
> Und jetzt frage ich mich, wo ich hier den Zusammenhang zum
> affinen Unterraum v+U shen soll :(
Da oben.
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Sa 30.01.2010 | | Autor: | LariC |
Könnte mal bitte jemand folgendes Bsp. überprüfen?!
Vielen dank im voraus:
Ich habe das jetzt mal an einem anderen Bsp ausprobiert - und zwar zu folgender Aufgabe:
[mm] \vektor{0 \\ 1\\ 2\\ 3} [/mm] und dem U= [mm] Spann(\vektor{1 \\ 0\\ 1\\ 1},\vektor{1 \\ 2\\ 3\\ 2})
[/mm]
Dazu wollte ich jetzt erstaml die basis des [mm] U^\perp [/mm] bestimmen, also:
Matrix aufstellen, Zeilenumformungen:
[mm] U^\perp=(\vektor{-1 \\ -1\\ 1\\ 0},\vektor{-2 \\ 0\\ 0\\ 1})
[/mm]
Wenn man jetzt prüft, ob diese Vektoren orthogonal zu denen von U sind klappt es ja auch, also muss es noch richtig sein!
Dann habe ich B:=A*v berechnet, nämlich:
B=(1 3)
So und dann muss ich die Matrix ja nur noch lösen:
Lös(A,b)=
[mm] =\pmat{ -1 & -1 & 1 & 0& 1\\ -2 & 0 & 0 & 1& 3 }
[/mm]
Das habe ich dann umgeformt bis zur Prameterdasrtellung und sie ist aber immer falsch, nämlich:
[mm] \vektor{-3/2 \\ 1/2 \\ 0\\ 0}+\lambda*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1\\ 0}+\mu\vektor{1/2 \\ -1/2 \\ 0\\ 1}
[/mm]
Fällt irgendjemandem mein Fehler auf? Denn eigentlich müsste damit wieder v+U dergestellt werden können...
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> Könnte mal bitte jemand folgendes Bsp. überprüfen?!
> Vielen dank im voraus:
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> Ich habe das jetzt mal an einem anderen Bsp ausprobiert -
> und zwar zu folgender Aufgabe:
> [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 2\\ 3}[/mm] und dem U= [mm]Spann(\vektor{1 \\ 0\\ 1\\ 1},\vektor{1 \\ 2\\ 3\\ 2})[/mm]
>
> Dazu wollte ich jetzt erstaml die basis des [mm]U^\perp[/mm]
> bestimmen, also:
> Matrix aufstellen, Zeilenumformungen:
>
> [mm]U^\perp=(\vektor{-1 \\ -1\\ 1\\ 0},\vektor{-2 \\ 0\\ 0\\ 1})[/mm]
>
> Wenn man jetzt prüft, ob diese Vektoren orthogonal zu
> denen von U sind klappt es ja auch, also muss es noch
> richtig sein!
Hallo,
der zweite Vektor von [mm] U^{\perp} [/mm] ist nicht orthogonal zum ersten von U.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 11:36 So 31.01.2010 | | Autor: | LariC |
Mhh...doch...aber du hast natürlich recht, so wie ich es geschrieben hatte würde, war es falsch - da war nämlich ein Tippefhler im Spann von U, sollte folgendes heißen:
[mm] U=(\vektor{1 \\ 0\\ 1\\ 2},\vektor{1 \\ 2\\ 3\\ 2})
[/mm]
Tut mir Leid - mein Fehler muss irgendwie weiter unte sein :(
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> Könnte mal bitte jemand folgendes Bsp. überprüfen?!
> Vielen dank im voraus:
>
> Ich habe das jetzt mal an einem anderen Bsp ausprobiert -
> und zwar zu folgender Aufgabe:
> [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 2\\ 3}[/mm] und dem U= [mm]Spann(\vektor{1 \\ 0\\ 1\\ \red{2}},\vektor{1 \\ 2\\ 3\\ 2})[/mm]
>
> Dazu wollte ich jetzt erstaml die basis des [mm]U^\perp[/mm]
> bestimmen, also:
> Matrix aufstellen, Zeilenumformungen:
>
> [mm]U^\perp=(\vektor{-1 \\ -1\\ 1\\ 0},\vektor{-2 \\ 0\\ 0\\ 1})[/mm]
>
> Wenn man jetzt prüft, ob diese Vektoren orthogonal zu
> denen von U sind klappt es ja auch, also muss es noch
> richtig sein!
>
> Dann habe ich B:=A*v berechnet, nämlich:
> B=(1 3)
>
> So und dann muss ich die Matrix ja nur noch lösen:
> Lös(A,b)=
> [mm]=\pmat{ -1 & -1 & 1 & 0& 1\\ -2 & 0 & 0 & 1& 3 }[/mm]
> Das habe
> ich dann umgeformt bis zur Prameterdasrtellung und sie ist
> aber immer falsch, nämlich:
>
> [mm]\vektor{-3/2 \\ 1/2 \\ 0\\ 0}+\lambda*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1\\ 0}+\mu\vektor{1/2 \\ -1/2 \\ 0\\ 1}[/mm]
>
> Fällt irgendjemandem mein Fehler auf?
Hallo,
der Vektor beim [mm] \lambda [/mm] stimmt nicht.
Gruß v. Angela
Denn eigentlich
> müsste damit wieder v+U dergestellt werden können...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 So 31.01.2010 | | Autor: | LariC |
Aber wieseo denn deiner Meinung nach nur der ein, die sind doch beide nicht von den Vaktoren von U linear abhängig(die Nullen sind ja an ganz versxchiedenen Stellen!) - wie kann ich den zweiten denn aus dem oberen Darstellen?
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> Aber wieseo denn deiner Meinung nach nur der ein, die sind
> doch beide nicht von den Vaktoren von U linear
> abhängig(die Nullen sind ja an ganz versxchiedenen
> Stellen!) - wie kann ich den zweiten denn aus dem oberen
> Darstellen?
Hallo,
diese Frage kannst Du Dir doch wirklcih selbst beantworten, indem Du das entsprechende Gleichungssystem löst.
(Lösung: 3/4*erster -1/4*zweiter).
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 So 31.01.2010 | | Autor: | LariC |
Mir ist es schon richtig unangenehm hier etwas zu fragen, aber ich bin jetzt so knapp am Ende des Verstehens, dass ich es einfach nochmal wagen muss.
Also:
Ich habe esmittlerweile geschafft den richtigen zweiten Vektor zu finden(bloß ein VZF in der Rechnung :() - und zwar:
[mm] \vektor{0\\ 1\\ 1\\ 0}
[/mm]
Jetzt habe ich auch schon über ein LGS herausgefunden, dass ich die beiden Skalare 2 und 3 setzten muss um v zu erhalten - und es passt :)
Aber jetzt stellt sich mir nur noch die entschiedende frage, wie kann ich jetzt die Vektoren von U, also die Basisvektoren hiermit darstellen?
Ich denke, dass wenn ich den Schritt verstanden habe alles klar sein müsste und dann will ich dieses endloslange Thema auch endlich beenden und mich wieder der ursprünglöichen Aufgabe in Ruhe zuwenden-
Also vilen dank an alle - besonders natürlich bisher an Angela
LG LariC
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> Mir ist es schon richtig unangenehm hier etwas zu fragen,
> aber ich bin jetzt so knapp am Ende des Verstehens, dass
> ich es einfach nochmal wagen muss.
Hallo,
dafür ist das Forum ja da, und zu merken ist, daß der Fragende zwischenzeitlich nachgedacht, gerechnet, probiert hat, dann wird ja in der regel auch gern geantwortet.
>
> Also:
> Ich habe esmittlerweile geschafft den richtigen zweiten
> Vektor zu finden(bloß ein VZF in der Rechnung :() - und
> zwar:
>
> [mm]\vektor{0\\ 1\\ 1\\ 0}[/mm]
Hm. Worum ging's da jetzt?
Wir haben
v= $ [mm] \vektor{0 \\ 1\\ 2\\ 3} [/mm] $ und dem U= $ [mm] Spann(\vektor{1 \\ 0\\ 1\\ 2}, \vektor{1 \\ 2\\ 3\\ 2}) [/mm] $,
$ [mm] U^\perp=span(\vektor{-1 \\ -1\\ 1\\ 0},\vektor{-2 \\ 0\\ 0\\ 1}) [/mm] $ ,
Und die Lösungen von $ [mm] \pmat{ -1 & -1 & 1 & 0& |1\\ -2 & 0 & 0 & 1& |3 } [/mm] $ haben die Gestalt
>
> $ [mm] \vektor{-3/2 \\ 1/2 \\ 0\\ 0}+\lambda\cdot{}\vektor{0 \\ 1 \\ 1\\ 0}+\mu\vektor{1/2 \\ -1/2 \\ 0\\ 1} [/mm] $ .
Du hast nun bereits festgestellt, daß v auf diese Weise dargestellt werden kann, und fragst Dich nun,
ob [mm] span(\vektor{0 \\ 1 \\ 1\\ 0},\vektor{1/2 \\ -1/2 \\ 0\\ 1})= Spann(\vektor{1 \\ 0\\ 1\\ 2}, \vektor{1 \\ 2\\ 3\\ 2}) [/mm] (=U).
Dazu kannst Du schauen, ob man die GSe [mm] a\vektor{0 \\ 1 \\ 1\\ 0}+b\vektor{1/2 \\ -1/2 \\ 0\\ 1})= \vektor{1 \\ 0\\ 1\\ 2}
[/mm]
und [mm] c\vektor{0 \\ 1 \\ 1\\ 0}+d\vektor{1/2 \\ -1/2 \\ 0\\ 1})=\vektor{1 \\ 2\\ 3\\ 2} [/mm] lösen kann.
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Man kann aber hier auch etwas raffinierter tätig werden - und im Hinblick auf die eigentlich zu lösende Aufgabe ist diese Vorgehensweise unbedingt beachtenswert.
Wir interessieren uns für die Lösung von [mm] \pmat{ -1 & -1 & 1 & 0& |1\\ -2 & 0 & 0 & 1& |3 }.
[/mm]
Das ist ein inhomogenes LGS, von dem man weiß, daß der Lösungsraum L sich schreiben läßt als Summe einer speziellen Lösung und dem Lösungsraum des zugehörigen homogenen Systems.
Nun wissen wir ja, was wir rausbekommen möchten, daher prüfen wir jetzt einfach, ob das klappt.
Zuerst die Koeffizientenmatrix mit v multiplizieren. Es kommt [mm] \vektor{1\\3} [/mm] raus. Also ist v eine spezielle Lösung des Systems.
Aus der ZSF sieht man, daß der Kern der Koeffizientenmatrix die Dimension 2 hat.
Wir starten nun einen Versuchsballon und überzeugen uns davon, daß die Basisvektoren von U wirklich auf die Null abgebildet werden.
Werden sie - es kann ja auch nicht anders sein, wir hatten [mm] U^{\perp} [/mm] ja entsprechend ausgesucht.
Also ist v eine spezielle Lösung, U der Lösungsraum des homogenen Systems und somit ist v+U die Lösungsmenge des Systems.
Gruß v. Angela
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