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| Aufgabe | Sei,
[mm] &U=\big<\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 },\pmat{ 1 \\ 1\\ 1},\pmat{ -1 \\ 1 \\ -1 }\big>$
[/mm]
und [mm] $\big< [/mm] -.- [mm] \big>$ [/mm] das Skalarprodukt gegeben duch
[mm] $\big [/mm] = $ $^{t}uAv$ mit
[mm] $A=\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2}$
[/mm]
Bestimmen Sie,
a) die Dimension von U
b) eine Orthonormalbasis bez. des Skalarproduktes [mm] \big< [/mm] -,- [mm] \big>
[/mm]
c) das orthogonale Komplement von U bez. [mm] \big< [/mm] -,- [mm] \big> [/mm] |
a) die Dimension ist 2
b) ich hätte gesagt, dass die Einheitsvektoren eine Orthonormalbasis bilden.
aber bezüglich des Skalarproduktes bin ich etwas verwirrt. Ich dachte das Skalarprodukt wäre klar definiert.
Also als [mm] $\vektor{x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}} [/mm] * [mm] \vektor{y_{1} \\ \vdots \\ y_{n}} [/mm] := [mm] x_{1}+y_{1} [/mm] + ... + [mm] x_{1}+y_{1}$.
[/mm]
Wie mache ich das mit dem Skalarprodukt, das oben angegeben ist?
c) Da weiß ich gar nicht, was ich machen soll.
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> Sei,
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> [mm]&U=\big<\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 },\pmat{ 1 \\ 1\\ 1},\pmat{ -1 \\ 1 \\ -1 }\big>$[/mm]
>
> und [mm]\big< -.- \big>[/mm] das Skalarprodukt gegeben duch
>
> [mm]\big =[/mm] [mm]^{t}uAv[/mm] mit
>
> [mm]A=\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2}[/mm]
>
> Bestimmen Sie,
>
> a) die Dimension von U
> b) eine Orthonormalbasis bez. des Skalarproduktes [mm]\big<[/mm]
> -,- [mm]\big>[/mm]
> c) das orthogonale Komplement von U bez. [mm]\big<[/mm] -,- [mm]\big>[/mm]
> a) die Dimension ist 2
Hallo,
ja, das stimmt.
Hast Du eine Basis auf Lager?
>
> b) ich hätte gesagt, dass die Einheitsvektoren eine
> Orthonormalbasis bilden.
1. Welche Einheitsvektoren meinst Du?
2. Sie müssen eine ONB bilden bzgl des hier durch A gegebenen Skalarproduktes.
> aber bezüglich des Skalarproduktes bin ich etwas verwirrt.
> Ich dachte das Skalarprodukt wäre klar definiert.
>
> Also als [mm]\vektor{x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}} * \vektor{y_{1} \\ \vdots \\ y_{n}} := x_{1}*y_{1} + ... + x_{n}*y_{n}[/mm].
Das ist das Standardskalarprodukt - eines unter vielen, vielen Skalarprodukten.
> Wie mache ich das mit dem Skalarprodukt, das oben angegeben
> ist?
Überall in der Gram-Schmidt-Orthonormalisierung, wo das Skaalrprodukt zweier Vektoren vorkommt, mußt Du das oben durch A definierte Skalarprodukt nehmen.
>
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> c) Da weiß ich gar nicht, was ich machen soll.
das hat auch erstmal Zeit bis später - trotzdem ist es kein Fehler, schonmal die Def. rauszusuchen.
Gruß v. Angela
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a) Wäre [mm] \big< \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 } \big>eine [/mm] Basis von U, da diese beiden ja linear unabhängig sind?
b) ich wende dann also Gram Schmidt auf die obere Basis an ?
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> a) Wäre [mm]\big< \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 } \big>eine[/mm]
> Basis von U, da diese beiden ja linear unabhängig sind?
Nein.
Aber [mm] (\vektor{1\\0\\1}, \vektor{1\\1\\1}) [/mm] wäre eine Basis.
>
> b) ich wende dann also Gram Schmidt auf die obere Basis an
Ja.
Gruß v. Angela
> ?
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b)
Nach Gram Schmidt wäre also
[mm] $w_{1}=u_{1}=\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 }$
[/mm]
[mm] $w_{2}=u_{2}-\bruch{}{}*w_{1}= \vektor{1 \\ 1 \\ 1}- \bruch{\big<\vektor{1 \\ 1 \\ 1},\vektor{1 \\ 0 \\ 1}\big>}{\big<\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\vektor{1 \\ 0 \\ 1}\big>}*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}=\vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ -\bruch{1}{2}}$
[/mm]
Ist das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 So 28.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst doch das oben definierte Skalarprodukt verwenden!
nicht das "Standardskalarprodukt", das du verwendet hast.
schreib erst mal das Skalarprodukt [mm] =v_1Av_2 [/mm] für deine 2 basisvektoren auf, ebenso [mm] v_1Av_1
[/mm]
Gruss leduart
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Aber das habe ich doch verwendet.
Hab ich mich verrechnet?
Ich bekomme dann raus
[mm] $w_{2}=\vektor{1\\1\\1}- \bruch{2}{4}*\vektor{1\\0\\1}
[/mm]
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Hallo,
rechne doch einfach mal die beiden Skalarprodukte vor.
So, wie es jetzt dasteht, kann ich das nicht sehen, ohne einen Stift in die Hand zu nehmen und selbst zu rechnen und mit Deinem Ergebnis zu vergleichen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 So 28.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die 2/4 müssen 6/4 sein, dein erstes Ergebnis war damit richtig, ich hatte nen Fehler
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:18 So 28.03.2010 | | Autor: | dr_geissler |
Aber wenn die [mm] $\bruch{2}{4}$ [/mm] , [mm] $\bruch{6}{4}$ [/mm] sein sollen, kann mein Ergebnis nicht richtig sein.
Oder steh ich auf dem Schlauch?
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> Aber wenn die [mm]\bruch{2}{4}[/mm] , [mm]\bruch{6}{4}[/mm] sein sollen, kann
> mein Ergebnis nicht richtig sein.
Hallo,
wieso?
Gruß v. Angela
>
> Oder steh ich auf dem Schlauch?
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Hab mich vertan.
Stimmt.
Nur noch eine Frage zu Verifizierung meiner Erkenntnis.
Der erste Basisvektor der Orthonormalbasis ist immer der erste Basisvektor meines zugrundeliegenden Vektorraums?
Und die Dimensionen des Vektorraums und der Orthonormalmatrix sind gleich ???
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> Hab mich vertan.
>
> Stimmt.
>
>
> Nur noch eine Frage zu Verifizierung meiner Erkenntnis.
>
> Der erste Basisvektor der Orthonormalbasis
Hallo,
der Orthogonalbasis!
> ist immer der
> erste Basisvektor meines zugrundeliegenden Vektorraums?
Ja, der erste Basisvektor der Basis, die Du orthogonalisisierst.
Wenn Du eine Orthonormalbasis brauchst, mußt Du noch normalisieren - wieder mit dem entsprechenden Skalarprodukt.
>
> Und die Dimensionen des Vektorraums und der
> Orthonormalmatrix sind gleich ???
Eine Matrix hat keine Dimension...
Die Anzahl der Elemente der ONB ist gleich der Dimension des Vektorraumes.
Also hat eine ONB von U 2 Elemente,
eine ONB des [mm] \IR^3 [/mm] hat 3 Elemente.
Ich hoffe, daß ich auf das geantwortet habe, was Du wissen wolltest...
Gruß v. Angela
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