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Hi,
wie kann ich zu einer gegebenen [mm] \IC_{3x3} [/mm] -Matrix die Orthonormalbasis bestimmen. Ich weiß wie man es im reellen macht, nämlich nach diesem Verfahren (https://matheraum.de/forum/Orthonormalbasis/t374277) . Aber ich habe Probleme damit es mit komplexen Einträgen zu machen. Mich stört das i und sind die Standardbasisvektoren im [mm] \IC [/mm] auch folgende?
$ [mm] \IR^3: v_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0},v_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0},v_3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] $
Das ist meine Matrix:
[mm] \pmat{ 10 & 6 & 4i \\ 6 & 5 & 2i \\ -4i & -2i & 2 }
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:03 Mi 09.06.2010 | | Autor: | valoo |
> Hi,
> wie kann ich zu einer gegebenen [mm]\IC_{3x3}[/mm] -Matrix die
> Orthonormalbasis bestimmen. Ich weiß wie man es im reellen
> macht, nämlich nach diesem Verfahren
> (https://matheraum.de/forum/Orthonormalbasis/t374277) . Aber
> ich habe Probleme damit es mit komplexen Einträgen zu
> machen. Mich stört das i und sind die
> Standardbasisvektoren im [mm]\IC[/mm] auch folgende?
> [mm]\IR^3: v_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0},v_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0},v_3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Das ist meine Matrix:
> [mm]\pmat{ 10 & 6 & 4i \\ 6 & 5 & 2i \\ -4i & -2i & 2 }[/mm]
Heyho!
Vielleicht solltest du dazu schreiben, dass die Orthonormalbasis zum Skalarprodukt [mm] \IC^{3}\times\IC^{3}\to\IC; (v,w)\mapsto v^{T}*M*\overline{w} [/mm] gesucht ist (M ist dabei natürliche die angegebene Matrix^^)
Bux hat doch beim Beweis der Existenz einer Orthonormalbasis eines jeden endlichdimensionalen unitären Raumes extra drunter geschrieben, dass man so auch beliebige Basen orthonormalisieren kann. Und natürlich geht das mit [mm] \IC^^
[/mm]
Die Standardbasis orthonormalisiert ist z. B.: [mm] \{\vektor{\bruch{1}{\wurzel{10}}\\ 0 \\ 0}, \vektor{-\bruch{3}{\wurzel{35}} \\ \wurzel{\bruch{5}{7}} \\ 0}, \vektor{\bruch{2^{\bruch{3}{2}}}{\wurzel{7}}*i \\ -\wurzel{\bruch{2}{7}}*i \\ \wurzel{\bruch{7}{2}}}\}
[/mm]
Das macht man genauso wie im Induktionsbeweis.
lg
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