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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Matheraum,
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
ich soll aus drei Vektoren im [mm] \IR^{3} [/mm] ein Orthonormalsystem hervorzaubern!
Es waren eigentlich erst zwei Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen. Den dritten musste ich ermitteln. Soweit kein Problem. Was ein Orthonormalsystem ist, weiß ich auch. Aber wie ich meine Vektoren orthonormiere nicht, zu dumm!
Ich habe mittlerweile herausgefunden, dass ich die Vektoren irgendwie mit der Norm der Vektoren multiplizieren muss, oder so (ganz genau weiß ich es aber nicht).
Eine allgemeine Vorgehensweise wäre jetzt sehr, sehr hiflreich (ups) hilfreich, für mich halt!
Liebe Grüße
Herby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Nette |
Hi Herby!
Zur Orthonormalisierung muss man meines Wissens nach einfach
e= [mm] \bruch{v}{ \parallel v \parallel}
[/mm]
wobei dann e der gesuchte Vektor des Orthonormalsystems ist und v der Vektor, den man orthonormalisieren soll,
d.h. du musst den Vektor einfach durch seine Norm teilen.
Viele Grüße
Annette
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Hallo Herby!
Du hast also aus zwei zueinander orthogonalen Vektoren [mm] $x,y\in\IR^3$ [/mm] einen dritten Vektor $z$ gewonnen, der auf $x$ und $y$ senkrecht steht.
Es gilt also [mm] $\langle x;y\rangle=\langle x;z\rangle=\langle y;z\rangle=0$.
[/mm]
Um aus dieser OB eine ONB zu machen, musst du jeden der Vektoren durch seine Norm teilen, also:
[mm] $\tilde x:=\bruch{x}{\sqrt{\langle x;x\rangle}},\ \tilde y:=\bruch{y}{\sqrt{\langle y;y\rangle}},\ \tilde z:=\bruch{z}{\sqrt{\langle z;z\rangle}}$.
[/mm]
Jetzt gilt z.B.: [mm] $\langle \tilde x;\tilde x\rangle=\left< \bruch{x}{\sqrt{\langle x;x\rangle}};\bruch{x}{\sqrt{\langle x;x\rangle}}\right>=\bruch{1}{\langle x;x\rangle}\langle x;x\rangle=1$.
[/mm]
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo ihr zwei,
ich wollte gerade mitteilen, dass ich meine drei Vektoren jetzt normiert habe. Bin ich zu langsam?? [ ]
Wie kriege ich daraus nun ein ORTHONORMALSYSTEM???
liebe Grüße,
Herby
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Hallo Herby!
Jetzt, wo sie normiert und orthogonal sind, sind sie orthonormal. Ein Orthonormalsystem ist ja eigentlich nur eine Menge von Vektoren, die orthonormal zueinander sind. Tatsächlich ist es sogar eine Orthonormalbasis, weil du ja den ganzen [mm] $\IR^3$ [/mm] damit aufspannen kannst. Du hast es also schon geschafft! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hi Banachella,
nur zur Kontrolle...
gegeben war:
[mm] \vec{a}=\vektor{3 \\ x \\ 3} [/mm] und [mm] \vec{b}=\vektor{4 \\ 3 \\ -1}
[/mm]
gesucht: Koordinate [mm] x_{2} [/mm] von [mm] \vec{a} [/mm] , so dass dieser senkrecht zu [mm] \vec{b} [/mm] ist; Vektor [mm] \vec{c} [/mm] mit geforderter Orthogonalität auf [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}
[/mm]
[mm] \vec{a}=\vektor{3 \\ -3 \\ 3}
[/mm]
[mm] \vec{c}=\vektor{2 \\ -5 \\ -7}
[/mm]
[mm] \bruch{\vec{a}}{\parallel\vec{a}\parallel}=( \wurzel{27})^{-1}*\vektor{3 \\ -3 \\ 3}
[/mm]
[mm] \bruch{\vec{b}}{\parallel\vec{b}\parallel}=( \wurzel{26})^{-1}*\vektor{4 \\ 3 \\ -1}
[/mm]
[mm] \bruch{\vec{c}}{\parallel\vec{c}\parallel}=( \wurzel{78})^{-1}*\vec{c}=\vektor{2 \\ -5 \\ -7}
[/mm]
Du brauchst das jetzt nicht alles nachrechnen, ich würde nur gerne wissen ob das alles ist, oder ob ich das noch anders hinschreiben muss.
liebe Grüße
Herby
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Hallo!
Für mich sieht das richtig aus. Ich habe die Ergebnisse kurz nachgerechnet, sie stimmen wohl.
Eigentlich müsstest du jetzt auch nichts mehr dazu schreiben. Du könntest höchstens den neuen Vektoren noch Namen geben und hinschreiben, dass diese das geforderte Orthonormalsystem bilden.
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Herby |
Danke Nette,
Danke Banachella,
einen hab' heute noch, bis vielleicht gleich.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße
Herby
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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