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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Orthonormalbasis
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Orthonormalbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:33 Do 09.06.2011
Autor: sissenge

Aufgabe
Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm] R^3 [/mm] mit dem Standartskalarprodukt und der Basis [mm] B=(b_{1},b_{2},b_{3}) [/mm] mit
[mm] b_{1}=\vektor{1 \\ 2\\3} [/mm] , [mm] b_{2}=\vektor{-1 \\ 1\\0}, b_{3}=\vektor{0 \\ 4\\0} [/mm]
Geben Sie eine Orthonormalbasis [mm] C=(c_{1},c_{2},c_{3}) [/mm] des [mm] R^3 [/mm] an mit [mm] Span(c_{1},.....c_{k})= Span(b_{1},.....b_{k}) [/mm] für alle [mm] k\in{1,2,3} [/mm]

So ich habe jetzt ganz normal mit Gram-Schmidt die Orthonormalbasen berechnet, dabei kommt  bei mir raus:
[mm] c_{1}=1/\wurzel{14} [/mm] (1,2,3)
[mm] c_{2}=\wurzel{10}/20 [/mm] (-5,4,-1)
[mm] c_{3}=2\wurzel{290}/1225 [/mm] (25,22,-23)

so, also ich erwarte jetzt definitiv nicht, dass jemand das nachrechnet, das werde ich nochmal machen, weil mir er letzte wert ein bisschen komisch vorkommt.

Meine Frage ist: Muss ich irgendwas noch beachten, weil in der Angabe steht:
[mm] Span(c_{1},.....c_{k})= Span(b_{1},.....b_{k})??? [/mm]

        
Bezug
Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 Do 09.06.2011
Autor: MathePower

Hallo sissenge,

> Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm]R^3[/mm] mit dem
> Standartskalarprodukt und der Basis [mm]B=(b_{1},b_{2},b_{3})[/mm]
> mit
>  [mm]b_{1}=\vektor{1 \\ 2\\3}[/mm] , [mm]b_{2}=\vektor{-1 \\ 1\\0}, b_{3}=\vektor{0 \\ 4\\0}[/mm]
>  
> Geben Sie eine Orthonormalbasis [mm]C=(c_{1},c_{2},c_{3})[/mm] des
> [mm]R^3[/mm] an mit [mm]Span(c_{1},.....c_{k})= Span(b_{1},.....b_{k})[/mm]
> für alle [mm]k\in{1,2,3}[/mm]
>  So ich habe jetzt ganz normal mit Gram-Schmidt die
> Orthonormalbasen berechnet, dabei kommt  bei mir raus:
>  [mm]c_{1}=1/\wurzel{14}[/mm] (1,2,3)
>  [mm]c_{2}=\wurzel{10}/20[/mm] (-5,4,-1)


Hier stimmt der Normierungsfaktor nicht.


>  [mm]c_{3}=2\wurzel{290}/1225[/mm] (25,22,-23)


Hier habe ich einen anderen Vektor.


>  
> so, also ich erwarte jetzt definitiv nicht, dass jemand das
> nachrechnet, das werde ich nochmal machen, weil mir er
> letzte wert ein bisschen komisch vorkommt.
>  
> Meine Frage ist: Muss ich irgendwas noch beachten, weil in
> der Angabe steht:
>  [mm]Span(c_{1},.....c_{k})= Span(b_{1},.....b_{k})???[/mm]  


Nein.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Orthonormalbasis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:57 Do 09.06.2011
Autor: sissenge

ok, super.. dann rechne ich nochmal nach!

Vielen Dank!!

Bezug
                        
Bezug
Orthonormalbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Do 09.06.2011
Autor: sissenge

ok, mein jetztiger wert ist nicht wirklich besser:

[mm] c_{3}=\bruch{12\wurzel{182}}{1225} [/mm] (25,22,-23)

Hast du denn den gleichen Nenner???

Bezug
                                
Bezug
Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:33 Do 09.06.2011
Autor: MathePower

Hallo sissenge,

> ok, mein jetztiger wert ist nicht wirklich besser:
>  
> [mm]c_{3}=\bruch{12\wurzel{182}}{1225}[/mm] (25,22,-23)
>  
> Hast du denn den gleichen Nenner???


Ich hab einen völlig anderen Vektor.

Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.


Gruss
MathePower


Bezug
                                        
Bezug
Orthonormalbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:35 Do 09.06.2011
Autor: sissenge

ok. also:

[mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] hast du auch raus oder?
Dann schreibe ich nur den Weg von [mm] c_{3} [/mm] hin:

orthogonalisieren von [mm] b_{3}: [/mm]
[mm] c_{3}'= b_{3}-c_{1}- c_{2}= [/mm]
= [mm] \vektor{0\\4\\0}-\bruch{4\wurzel{14}}{7} \bruch{1}{\wurzel{14}} \vektor{1\\2\\3} [/mm] - [mm] \bruch{4\wurzel{10}}{5} \bruch{\wurzel{10}}{20} \vektor{-5\\4\\-1} [/mm]

SO das ist jetzt erstmal die erste Zeile, ich denke, dass hier irgendwo ein Fehler sein muss, aber ich finde einfach keinen


Und danach habe ich den Vektor eben noch normalisiert mit:
[mm] c_{3}= \bruch{c_{3}'}{\parallel c_{3}'\parallel}[/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:14 Fr 10.06.2011
Autor: MathePower

Hallo sissenge,

> ok. also:
>  
> [mm]c_{1}[/mm] und [mm]c_{2}[/mm] hast du auch raus oder?


Bei [mm]c_{2}[/mm] stimmt der Normierungsfaktor nicht.
Das ist das Skalar vor dem Vektor.


>  Dann schreibe ich nur den Weg von [mm]c_{3}[/mm] hin:
>  
> orthogonalisieren von [mm]b_{3}:[/mm]
>  [mm]c_{3}'= b_{3}-c_{1}- c_{2}=[/mm]
>  =
> [mm]\vektor{0\\4\\0}-\bruch{4\wurzel{14}}{7} \bruch{1}{\wurzel{14}} \vektor{1\\2\\3}[/mm]
> - [mm]\bruch{4\wurzel{10}}{5} \bruch{\wurzel{10}}{20} \vektor{-5\\4\\-1}[/mm]
>  
> SO das ist jetzt erstmal die erste Zeile, ich denke, dass
> hier irgendwo ein Fehler sein muss, aber ich finde einfach
> keinen
>  
> Und danach habe ich den Vektor eben noch normalisiert mit:
>  [mm]c_{3}= \bruch{c_{3}'}{\parallel c_{3}'\parallel}[/mm]  


Gruss
MathePower

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