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| Aufgabe | Sei (V, <. , .>2) der R3 mit dem Standardskalarprodukt und den Basisvektoren:
v1:=(1, -2, [mm] 2)^t
[/mm]
v2:=(-1, -3, [mm] 2)^t
[/mm]
v3:=(0, 1, [mm] 1)^t
[/mm]
Bestimmen Sie ausgehend von (v1; v2; v3) eine Orthonormalbasis (w1;w2;w3) des R3. |
Ich weiß das man die Aufgabe mit dem Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren rechnet.
Ich habe versucht es zu rechnen, aber es kommen schon beim zweiten Schritt bei mir komische Zahlen raus.
Mein Rechenweg sieht wie folgt aus:
[mm] w1=\bruch{1}{\parallel V1 \parallel _{2}} [/mm] * V1 = [mm] \bruch{1}{\wurzel{9}}\vektor{1 \\ -2 \\ 2}
[/mm]
V2' = V2 - < V2, V1 >2 V1 = [mm] \vektor{-1 \\ -3 \\ 2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{14}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{9}} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{-42 -\wurzel{14}}{42} \\ \bruch{-63 +\wurzel{14}}{21} \\ \bruch{42 -\wurzel{14}}{21}}
[/mm]
[mm] w2=\bruch{1}{\parallel V2' \parallel _{2}} [/mm] * V2' = [mm] \bruch{1}{\wurzel{12,46786112}} \vektor{\bruch{-42 -\wurzel{14}}{42} \\ \bruch{-63 +\wurzel{14}}{21} \\ \bruch{42 -\wurzel{14}}{21}}
[/mm]
Wenn ich mir das so angucke weiß ich nicht ob das so richtig ist bzw. ob die Normierung richtig ist.
Eigentlich fehlt da noch die Berechnung von w3, aber ich weiß nicht ob mein zweiter Schritt schon richtig ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo SushiExpress,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei (V, <. , .>2) der R3 mit dem Standardskalarprodukt und
> den Basisvektoren:
>
> v1:=(1, -2, [mm]2)^t[/mm]
> v2:=(-1, -3, [mm]2)^t[/mm]
> v3:=(0, 1, [mm]1)^t[/mm]
>
> Bestimmen Sie ausgehend von (v1; v2; v3) eine
> Orthonormalbasis (w1;w2;w3) des R3.
>
>
> Ich weiß das man die Aufgabe mit dem Schmidtsches
> Orthonormalisierungsverfahren rechnet.
>
> Ich habe versucht es zu rechnen, aber es kommen schon beim
> zweiten Schritt bei mir komische Zahlen raus.
> Mein Rechenweg sieht wie folgt aus:
>
> [mm]w1=\bruch{1}{\parallel V1 \parallel _{2}}[/mm] * V1 =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{9}}\vektor{1 \\ -2 \\ 2}[/mm]
>
> V2' = V2 - < V2, V1 >2 V1 = [mm]\vektor{-1 \\ -3 \\ 2}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{14}}[/mm] * [mm]\bruch{1}{\wurzel{9}}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 2}[/mm]
[mm]< \ V2, \ V1>[/mm] ist nicht [mm]\bruch{1}{\wurzel{14}}[/mm]
> = [mm]\vektor{\bruch{-42 -\wurzel{14}}{42} \\ \bruch{-63 +\wurzel{14}}{21} \\ \bruch{42 -\wurzel{14}}{21}}[/mm]
>
> [mm]w2=\bruch{1}{\parallel V2' \parallel _{2}}[/mm] * V2' =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{12,46786112}} \vektor{\bruch{-42 -\wurzel{14}}{42} \\ \bruch{-63 +\wurzel{14}}{21} \\ \bruch{42 -\wurzel{14}}{21}}[/mm]
>
> Wenn ich mir das so angucke weiß ich nicht ob das so
> richtig ist bzw. ob die Normierung richtig ist.
> Eigentlich fehlt da noch die Berechnung von w3, aber ich
> weiß nicht ob mein zweiter Schritt schon richtig ist.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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> [mm]< \ V2, \ V1>[/mm] ist nicht [mm]\bruch{1}{\wurzel{14}}[/mm]
>
Ihrgenwie steh ich da gerade auf den Schlauch. Wärst du so nett mir zu erklären wie ich da auf die richtig Zahl komme?
Den Rest müsste ich dann hinbekommen.
w1 war aber richtig oder?
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Hallo SushiExpress,
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> >
> > [mm]< \ V2, \ V1>[/mm] ist nicht [mm]\bruch{1}{\wurzel{14}}[/mm]
> >
>
[mm]< \ V2, \ V1>=\pmat{1 & -3 & -2}\pmat{1 \\ -2 \\ 2}=1*1+\left(-3\right)*\left(-2\right)+\left(-2\right)*2= \ ...[/mm]
>
> Ihrgenwie steh ich da gerade auf den Schlauch. Wärst du so
> nett mir zu erklären wie ich da auf die richtig Zahl
> komme?
Für das Skalarprodukt siehe hier.
> Den Rest müsste ich dann hinbekommen.
>
> w1 war aber richtig oder?
Ja.
Gruss
MathePower
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Ich hab es jetzt noch einmal gerechnet.
V2'= [mm] \vektor{-1 \\ -3 \\ 2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{9}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{9}} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{9}} \vektor{ -10\\ -25 \\ 16}
[/mm]
W2= [mm] \bruch{1}{\parallel V2' \parallel_{2}} [/mm] * V2' = [mm] \bruch{1}{\wurzel{981}} \vektor{ -10\\ -25 \\ 16}
[/mm]
V3'= [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{4}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{9}} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{4}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{9}} [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ -3 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ \bruch{11}{6} \\ \bruch{1}{3}}
[/mm]
W3= [mm] \bruch{1}{\parallel V3' \parallel_{2}} [/mm] * V3' = [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{125}{36}}} \vektor{0 \\ \bruch{11}{6} \\ \bruch{1}{3}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Do 23.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. warum ziehst du Wurzeln aus Quadratzahlen nIcht?
> V2'= [mm]\vektor{-1 \\
-3 \\
2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{\wurzel{9}}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{9}}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\
-2 \\
2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{9}} \vektor{ -10\\
-25 \\
16}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wie kann man auf das Ergebnis kommen, da sind doch nur ganze Zahlen und Drittel zu addieren.
Du musst das wirklich mal Zeile für Zeile hinschreiben:
1. Zeile :-1-1/3=-4/3
usw und dann den Ergebnisvektor hinschreiben
woher in der 1. ten Zeile die
$\bruch{1}{\wurzel{9}}* $\bruch{1{\wurzel{9}}$ herkommen versteh ich auch nicht.
Gruss leduart
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Ich habe nun bemerkt, dass die Formel die ich verwendet hatte Fehlerhaft war.
Hab aber nun die Lösung.
Danke trotzdem für eure Hilfe.
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