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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Sa 16.06.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für eine Matrix A [mm] \in R^{nxn} [/mm] die folgenden Bedingungen äquivalent
sind:
(i) A ist orthogonal.
(ii) Die Spalten von A bilden eine Orthonormalbasis von [mm] R^n.
[/mm]
(iii) Die Zeilen von A bilden eine Orthonormalbasis von [mm] R^n. [/mm] |
Hallo Leute,
habe mal begonnen, A ist orthogonal wenn [mm] A^T*A=E_n [/mm] ist, somit gibt es ein Inverses zu A. Wann bilden aber die Spalten eine Orthonormalbasis? Habe folgende Definition für Orthonormalbasis:
[mm] f(b_i,b_j)=\delta_{ij} [/mm] Also eben das Kroneckerdelta, 1, wenn i=j und 0 wenn i ungleich j. Kann mir darunter aber nur schwer etwas vorstellen, könnte mir da jemand viellicht ein Beispiel dazu nennen?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Sa 16.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine Orthonormalbasis, besteht aus Einheitsvektoren, die paarweise orthogonal sind, deren skalarprodukt also 0 ist.
damit sind sie natürlich auch alle lin unabhängig.
was hat jetzt das Skalarprodukt der Zeilen bzw Spaltenvektoren mit der Matrixmultiplikation zu tun?
mach es erstmal für n02 oder 3 dann siehst du wie es läuft.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Sa 16.06.2012 | | Autor: | AntonK |
Danke erstmal für deine Antwort.
Das heißt ich muss die Matrix also erstmal in die Zeilen bzw. Spalten zerlegen. Muss ich da eine spezielle Matrix dafür hernehmen? Oder irgendeine x-beliebige? Sprich irgendeine 2x2-Matrix für den Anfang.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Sa 16.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm eine ohne Orthonormalbasis und zeig dass sie nicht orthogonal ist und umgekehrt. oder nimm eine beliebige und zeig, dass sie nur orth. ist, wenn die zeilen u nd Spaltenvektoren das sind.
gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:15 Sa 16.06.2012 | | Autor: | AntonK |
Wie bekomme ich denn eine Matrix ohne Orthonormalbasis, hast du mal ein Beispiel für mich? Kann mir nicht vorstellen, wie die auszusehen hat, kann generell mit der Definition und dem Kroneckerdelta nichts anfangen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 18.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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