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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Di 10.07.2012 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Gegeben Sei
[mm] A=\bruch{1}{3}\pmat{5&-4&-2\\-4&5&-2\\-2&-2&8}
[/mm]
Geben Sie eine Orthonormalbasis an bezgl. derer A als
lineare Abbildung Diagonalgestalt hat. |
Hallo,
könnt ihr mir einen Denkanstoss geben? Ein einfacher Begriff wie "Gramm-Schmidt" wird mir vlt auch schon reichen.
Danke schonmal im Voraus.
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Di 10.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben Sei
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> [mm]A=\bruch{1}{3}\pmat{5&-4&-2\\-4&5&-2\\-2&-2&8}[/mm]
>
> Geben Sie eine Orthonormalbasis an bezgl. derer A als
> lineare Abbildung Diagonalgestalt hat.
> Hallo,
>
> könnt ihr mir einen Denkanstoss geben? Ein einfacher
> Begriff wie "Gramm-Schmidt" wird mir vlt auch schon
> reichen.
Also bitte: "Gramm-Schmidt".
Und Tschüß.
Spaß beiseite: Bestimme die Eigenwerte von A. Bestimme dann eine Orthonormalbasis [mm] \{b_1,b_2,b_3 \} [/mm] des [mm] \IR^3, [/mm] welche aus Eigenvektoren von A besteht
FRED
>
> Danke schonmal im Voraus.
>
> Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Di 10.07.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
danke zunaechst für deine Antwort.
İch habe nun die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet:
Als EW habe ich einmal die 0 und dann den doppelten EW 3
EV zu 0 ist [mm] \vektor{2\\2\\1} [/mm] und die EV zum doppelten EW 3 sind [mm] \vektor{-1\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{1\\0\\2}
[/mm]
muss ich jz mit Hilfe der Vektoren und Gramm Schmidt [mm] b_1...b_3 [/mm] bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Di 10.07.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
>
> danke zunaechst für deine Antwort.
>
> İch habe nun die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet:
>
> Als EW habe ich einmal die 0 und dann den doppelten EW 3
>
> EV zu 0 ist [mm]\vektor{2\\2\\1}[/mm] und die EV zum doppelten EW 3
> sind [mm]\vektor{-1\\1\\0}[/mm] und
Hier
> [mm]\vektor{1\\0\\2}[/mm]
hast Du Dich verrechnet.
>
> muss ich jz mit Hilfe der Vektoren und Gramm Schmidt
> [mm]b_1...b_3[/mm] bestimmen?
Ja. Der Mann hiess uebrigens Gram.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Di 10.07.2012 | | Autor: | Laura87 |
hallo,
danke für den Hinweis. İch habe das - Zeichen ergaenzt.
Habe jedoch noch eine Frage: EV zu verschiedenen EW sind ja automatisch orthogonal. Bedeutet dies, dass mein Eigenvektor zum EW 0 auch automatisch ein Basisvektor ist und ich Gram Schmidt auf die EV zum EW 3 anwenden muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Di 10.07.2012 | | Autor: | hippias |
> hallo,
>
> danke für den Hinweis. İch habe das - Zeichen ergaenzt.
> Habe jedoch noch eine Frage: EV zu verschiedenen EW sind ja
> automatisch orthogonal. Bedeutet dies, dass mein
> Eigenvektor zum EW 0 auch automatisch ein Basisvektor ist
> und ich Gram Schmidt auf die EV zum EW 3 anwenden muss?
Ja, das ist ausreichend. Wuerdest Du aber das Verfahren mit dem EV zum EW 0 beginnen, kaemst Du auch zum Ziel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Di 10.07.2012 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | b) Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper mit [mm] char(\IK) [/mm] = [mm] \infty [/mm] . Sei V = [mm] \IK^3. [/mm] Gegeben sei eine Bilinearform in der Form einer darstellenden
Matrix bezgl. der Standardbasis
G= [mm] \pmat{6&2&3\\2&1&1\\3&1&2}
[/mm]
Zeigen Sie, dass diese Matrix positiv definit ist und geben sie eine Basis von V an bezgl. derer die Bilinearform
diagonal ist. |
Hallo,
zu zeigen, dass die Matrix positiv definit ist, ist nicht mein Problem. Wo ich mir unsicher bin, ist die Basis. Muss ich hier auch wieder die Eigenvektoren berechnen und Gram Schmidt anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Di 10.07.2012 | | Autor: | hippias |
Ich glaube, die Frage kannst Du selbst beantworten. Mal angenommen Du haettest die Basis [mm] $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ [/mm] so wie Du vorschlaegts berechnet. Was liesse sich dann ueber [mm] $b_{i}^{t}Gb_{i}$ [/mm] und [mm] $b_{i}^{t}Gb_{j}$ [/mm] aussagen, wobei [mm] $1\leq i\neq j\leq [/mm] 3$ sei? Liefert es das Gewuenschte?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Di 10.07.2012 | | Autor: | Laura87 |
ich denke schon, da ja wieder eine Basis gesucht ist, so dass A diag....
aber da du so fragst, bin ich verunsichert :-S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Mi 11.07.2012 | | Autor: | hippias |
Dich zu verunsichern war natuerlich nicht meine Absicht. Ich wollte Dir deutlich machen, weshalb Dein Ansatz richtig ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Mi 11.07.2012 | | Autor: | hippias |
Uebrigens: Du solltest ja auch nachweisen, dass das entsprechende neue Skalarprodukt mit der Gram'schen Matrix $A$ positiv definit ist. Hoffentlich erinnerst Du Dich, dass das Gram-Schmidt-Verfahren z.B. fuer alle positiv definiten Skalarprodukte funktioniert. Also koennte man das Verfahren auch direkt auf das neue Skalarprodukt anwenden ohne vorher EV bestimmen zu muessen. Bei groesseren Matrizen ist der Weg ohne EV-Bestimmung wohl deutlich einfacher.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Mi 11.07.2012 | | Autor: | Laura87 |
Danke fuer deinen Hinweis. Ich habe das jz mit Gram Schmidt gemacht, aber das Verfahren, welches du vorgeschlagen hast, wuerde ich auch gerne verstehen.
Ich versteh nicht so ganz, wie du das mit dem Skalarprodukt meinst. Also ich zeige mit dem Hauptminorenkrit., dass die Matrix positiv definit ist und dann?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mi 11.07.2012 | | Autor: | hippias |
Wiederum mein Fehler: Ich meinte die Matrix $G$ aus Aufgabe b) statt $A$ aus Aufgabe a).
Ich meinte in der letzten Mitteilung folgendes: Die Matrix $G$ ist ja eine Gram-Matrix bezueglich der Bilinearform [mm] $\beta(x,y)= x^{t}Gy$ [/mm] (normales Matrixprodukt, x,y Vektoren, $^{t}$ transponiert). Wenn Du im Gram-Schmidt-Verfahren jetzt ueberall dort [mm] $\beta$ [/mm] benutzt, wo Du sonst das Standardskalarprodukt benutzt haettest, dann berechnest Du eine Orthogonalbasis bezeuglich [mm] $\beta$ [/mm] - denn eine solche ist hier ja gesucht.
Dein Vorschlag ist aber auch gangbar: Denn sind [mm] $b_{i}$ [/mm] Deine orthogonalisierten - bezueglich des Standardskalarproduktes! - EVen von $G$, so folgt ja [mm] $\beta(b_{i}, b_{j})= b_{i}^{t}Gb_{j}= \lambda_{j} b_{i}^{t}b_{j}$. [/mm] Da [mm] $b_{i}^{t}b_{j}$ [/mm] das Standardskalarprodukt ist und Du bezeuglichen diesem orthogonalisiert hast, ergibt sich also [mm] $\beta(b_{i}, b_{j})= [/mm] 0$ fuer [mm] $i\neq [/mm] j$, sodass [mm] $\beta$ [/mm] in der Basis [mm] $b_{i}$ [/mm] ausserhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen hat, also von Diagonalgestalt ist.
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