Orthonormalbasis, Diag.Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Mi 21.05.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | gegeben sei A= -1 0 -3 über |R.
0 -4 0
-3 0 -1
Bestimmen sie die Orthonormalbasis, die aus Eigenwerten aus A besteht und gebe eine Matrix S an, sodass
t^SAS eine Diagonalmatrix ist. Bestimmen sie die Signatur der quadr. Form qA |
hi zusammen ^^
also Eigenwerte sind -4, 3 und -3.
setzt man: -4E -A = (-3 0 3) in der ersten zeile und der rest sind nullen nach einer umformung.
Da lassen sich ja zb (1 0 1) und (0 1 0) als orth. vektoren zu (-3 0 3) leicht angeben. Falls man den ersten normieren müsste teilt man einfach durch wurzel 2; nur ich hab kein plan wie man an S rankommt -.-
und somit leider keine Ahnung wie ich weitermachen muss, kann mir da jemand helfen?
danke schonmal :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Mi 21.05.2008 | | Autor: | max3000 |
S ist die Übergangsmatrix, von der kanonischen Basis zu deiner Basis aus Eigenvektoren. Dazu musst du die Eigenvektoren Spaltenweise in deine Matrix eintragen.
Also das nächste, was du machen musst, zu den anderen 2 Eigenwerten jeweils einen Eigenvektor zu finden. Dann kannst du die Matrix aufstellen.
Allerdings seh ich grad, dass die algebraische Vielfachheit ungleich der geometrischen ist. Du hast 3 EINFACHE (algebraische Vielfachheit 1) Eigenvektoren und hast zu einem Eigenwert 2 Eigenvektoren gefunden (geometrische Vielfachheit 2). Diese Matrix ist also entweder nicht diagonalisierbar, oder du hast dich verrechnet.
Prüfen wir das mal nach...
[mm] (-4E-A)x=\pmat{-3 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -3}\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=0
[/mm]
also du siehst mit der 1. und 3. Zeile, dass sich beide Gleichungen wiedersprechen und desswegen [mm] x_1=x_3=0 [/mm] ist und [mm] x_2 [/mm] beliebig. Also hast du als Eigenvektor [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und das ist auch der einzige, den es zu diesem Eigenwert gibt (die Vielfachen dieses Vektors zählen nicht mit).
Berechne jetzt die anderen Eigenvektoren nach diesem Shema und dann dürftest du auf S kommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Mi 21.05.2008 | | Autor: | eumel |
mir ist gerad ein fehler bei dir aufgefallen:
jetz plump ausgedrückt: der eintrag rechts oben von A (also die -3) müsste für -A aber dann positiv sein, nicht negativ wie bei dir ^^
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Hallo Benjamin,
> mir ist gerad ein fehler bei dir aufgefallen:
> jetz plump ausgedrückt: der eintrag rechts oben von A
> (also die -3) müsste für -A aber dann positiv sein, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") nicht
> negativ wie bei dir ^^
Ja, da hast du recht, trotzdem solltest du nochmal deine Eigenwerte überprüfen.
Es kommt einer einfach und einer doppelt vor.
Die Matrix ist diagonalisierbar, wenn der Eigenraum, der zu dem doppelten Eigenwert gehört, die Dimension 2 hat (algebraische=geometr. Vielfachheit)
Also überprüfe nochmal deine Eigenwerte und berechne dann mal die Eigenräume.
(Ich hab's eben "schnell-schnell" angerechnet, und wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist deine Matrix diagonalisierbar)
Damit hast du ne Basis aus Eigenvektoren, da musste dann noch gucken, ob und mit welchem Aufwand  du orthonormieren musst
LG
schachuzipus
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