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| Aufgabe | Gegeben ist der euklidische Vektorraum [mm] \IR_{\le 1 } [/mm] [x] mit dem Skalarprodukt
[mm] \_{p} [/mm] = ac+3bd und die Basis [mm] \{p_{1}, p_{2}\}. [/mm]
Seien [mm] p_{1} [/mm] := -2*x und [mm] p_{2} [/mm] := x-2.
Gesuchte ONB: [mm] \{q_{1}, q_{2}\} [/mm] |
Meine Frage ist wie ich diese Aufgabe mit dem Gram-Schmidt Verfahren und zwei Polynomen lösen kann? Ich bin fast am verzweifeln. Sitze schon lange an dieser Aufgabe und hab bisher keine Lösung im Internet gefunden die dieser Aufgabe in irgendeiner weise meiner aufgabe ähneln.
Mein Ansatz/Ansätze:
ONB = Orthonormalbasis
für [mm] q_{1}: [/mm]
[mm] q_{1} [/mm] = [mm] \bruch{p_{1}}{\parallel p_{1} \parallel}
[/mm]
[mm] q_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-2x}{\wurzel{(-2)^{2}}} [/mm]
= [mm] \bruch{-2x}{2}
[/mm]
= [mm] -2x\bruch{1}{2}
[/mm]
= -x
für [mm] l_{2}:
[/mm]
[mm] l_{2} [/mm] = [mm] p_{2} [/mm] - [mm] q_{1}
[/mm]
= (x-2) - (1*(-1)+3*0*0)*(-x)
= -2
für [mm] q_{2}:
[/mm]
[mm] q_{2} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{\wurzel{-2^2}}
[/mm]
= -1
ONB = [mm] \{ -x ,-1 \}
[/mm]
Die Aufgabe habe ich im training meiner elektronischen hausaufgaben (Die Aufgabe ist keine HAUSAUFGABEN!) aber es wäre mir wichtig wie ich zum Ergebnis kommen kann damit ich meine Hausaufgaben lösen kann. Beim training gebe ich immer die Ergebnisse an und es kommt immer als fehlermeldung [mm] q_{2} [/mm] ist nicht normiert aber ich finde einfach den Fehler nicht :(. In meinem Vorlesungsmaterial steht auch nichts sinnvolles drin wie ich an das Ergebnis kommen kann. Hoffe ihr könnt mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:08 So 16.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Gegeben ist der euklidische Vektorraum [mm]\IR_{\le 1 }[/mm] [x] mit
> dem Skalarprodukt
> [mm]\_{p}[/mm] = ac+3bd und die Basis [mm]\{p_{1}, p_{2}\}.[/mm]
>
> Seien [mm]p_{1}[/mm] := -2*x und [mm]p_{2}[/mm] := x-2.
>
> Gesuchte ONB: [mm]\{q_{1}, q_{2}\}[/mm]
> Meine Frage ist wie ich
> diese Aufgabe mit dem Gram-Schmidt Verfahren und zwei
> Polynomen lösen kann? Ich bin fast am verzweifeln. Sitze
> schon lange an dieser Aufgabe und hab bisher keine Lösung
> im Internet gefunden die dieser Aufgabe in irgendeiner
> weise meiner aufgabe ähneln.
>
> Mein Ansatz/Ansätze:
>
> ONB = Orthonormalbasis
>
> für [mm]q_{1}:[/mm]
>
> [mm]q_{1}[/mm] = [mm]\bruch{p_{1}}{\parallel p_{1} \parallel}[/mm]
>
> [mm]q_{1}[/mm] = [mm]\bruch{-2x}{\wurzel{(-2)^{2}}}[/mm]
> = [mm]\bruch{-2x}{2}[/mm]
> = [mm]-2x\bruch{1}{2}[/mm]
> = -x
>
> für [mm]l_{2}:[/mm]
>
> [mm]l_{2}[/mm] = [mm]p_{2}[/mm] - [mm]q_{1}[/mm]
> = (x-2) -
> (1*(-1)+3*0*0)*(-x)
> = -2
Hier, ein kleiner Fehler (ich denke Tippfehler), hat aufs Ergebnis keinen Einfluss. Es müsste heißen:
[mm]l_{2} = p_{2} - q_{1}= (x-2) - (1*(-1)+3*(\red{-2})*0)*(-x) = -2 [/mm]
>
> für [mm]q_{2}:[/mm]
>
> [mm]q_{2}[/mm] = [mm]\bruch{-2}{\wurzel{-2^2}}[/mm]
> = -1
Hier ist die Normierung falsch gelaufen. Du musst ja mit dem oben gegebenen Skalarprodunkt normieren, d.h. du bekommst:
[mm]q_{2}[/mm] = [mm]\bruch{-2}{\wurzel{3*(-2)^2}} = \frac{-1}{\sqrt{3}}[/mm]
Das ist dann auch wie gewünscht normiert.
LG Lippel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 So 16.01.2011 | | Autor: | BigMonkey |
> Hier, ein kleiner Fehler (ich denke Tippfehler), hat aufs
> Ergebnis keinen Einfluss. Es müsste heißen:
> [mm]l_{2} = p_{2} - q_{1}= (x-2) - (1*(-1)+3*(\red{-2})*0)*(-x) = -2[/mm]
>
ja tatsache da war ein kleiner tipfehler drin :D
und vielen vielen dank Lippel für deine antwort :D bin schon fast verrückt geworden
LG BigMonkey
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