Orthonormalbasis bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
Bestimmen sie die Vektoren b und c so dass sie mit a eine Orthonormalbasis bilden |
Eigentlich denke ich ich hab es verstanden, wäre nett mal mal jemand drüber schauen könnte ob das alles so passt.
Mein erster Schritt ist es einen Vektor zu finden der Orthogonal zu meinem gegebenen Vektor ist:
b = [mm] \vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Dazu bilde ich das Skalarprodukt von a und b und komme dann auf die Gleichung x - z = 0
Wenn ich dass dann auflöse komme ich auf :
[mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ 1}>
[/mm]
Dieser Vektor steht jetzt senkrecht auf meinem Vektor a und muss nur noch auf Länge 1 gebracht werden also :
b = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Als nächstes muss ich jetzt noch einen Vektor suchen der Orthogonal zu a un b ist!
Ich bilde also das Skalarprodukt von a und c und von b und c!
Und komme auf der das Gleichungssystem:
x-z = 0
x+z = 0
Was mich dann auf den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] brachte
Welcher ja nicht auf die Länge 1 normiert werden muss...
Meine Orthogonalbasis ist also :
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] , [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Stimmt das so?
Lg
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ohne deine Lösung nachgerechnet zu haben: wäre es nicht viel einfacher das Kreuzprodukt von a und b zu bilden? Das spart immerhin (d)ein LGS.
Gruß
Slartibartfast
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Oh, japp stimmt!
Aber diesen Schritt von dir verstehe ich jetzt nicht so ganz :
> > Ein dritter Vektor, orthogonal zu den anderen beiden und mit Länge 1 wäre also
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Wie bist du auf den gekommen? Hast du den einfach geraten?
Lg
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Hallo,
nee, nicht geraten, bin ja nicht bei Günther Jauch 
Ich habe deine Rechnung benutzt.
Du hattest richtigerweise geschrieben, dass für einen Vektor [mm] \vektor{x\\y\\z}, [/mm] der auf den anderen beiden senkrecht steht, die Bedingungen
(1) x-z=0
(2) x+z=0
erfüllen muss
(1)+(2) ergibt 2x=0, also x=0 und damit auch z=0
Also muss die erste Komponente und die letzte Null sein, die 2te Kommponente, also y ist beliebig.
Da wir Länge 1 brauchen, habe ich der Einfachheit halber y=1 gewählt, das spart das Normieren.
Du kannst natürlich auch [mm] $\vektor{0\\374\sqrt{\pi}\\0}$ [/mm] nehmen, dann musste aber normieren.
Dann lieber die Arbeit sparen
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Do 31.01.2008 | | Autor: | Marry2605 |
Oh mann, jaa klar!
Kann Mathe so langesam nichtmehr sehn, Montag hab ich Klausur, dann ist es vorbei ;) ...
Danke! :))
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| Aufgabe | a = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Bestimmen Sie zu Vektor a 2 Vektoren b und c die mit a eine Orthonormalbasis bilden! |
Hab jetzt eben nochmal einen andere Aufgabe gerechnet und bin mir nicht sicher ob ich das jetzt richtig gemacht hab.
a = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
b = [mm] \vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Meine erste Gleichung für den ersten auf a stehenden Vektor ist dann
x + y = 0
also ist x = -y wobei y und z frei wählbar sind!
also dann [mm] <\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] >
Jetzt kommt die Frage, aus diesen beiden kann ich mir ja einen Vektor für b aussuchen? oder?
Lg
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> a = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> Bestimmen Sie zu Vektor a 2
> Vektoren b und c die mit a eine Orthonormalbasis bilden!
> Hab jetzt eben nochmal einen andere Aufgabe gerechnet und
> bin mir nicht sicher ob ich das jetzt richtig gemacht hab.
>
> a = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> b = [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
>
>
>
>
> Meine erste Gleichung für den ersten auf a stehenden Vektor
> ist dann
> x + y = 0
> also ist x = -y wobei y und z frei wählbar sind!
> also dann [mm]<\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] >
> Jetzt kommt die Frage, aus diesen beiden kann ich mir ja
> einen Vektor für b aussuchen? oder?
Hallo,
ja, da kannst Du Dir den aussuchen, der Dir am besten gefällt. Wenn Du das getan hast, kannst Du ja mal drüber nachdenken, ob Du den anderen auch noch für irgendwas verwenden kannst.
Und: normieren nicht vergessen, Du sollst ja eine ONB bringen.
Gruß v. Angela
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