Orthonormalbasis von Unterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe 1 | Gegeben seien die Vektoren [mm] x(1)=(1,0,2,-2)^T [/mm] , [mm] x(2)=(4,-2,4,-3)^T [/mm] und x(3)=(2,3,10,-7)T .
a)
Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des von x(1), x(2) und x(3) aufgespannten Unterraums U. Welche Dimensions hat U? |
| Aufgabe 2 | b)
Bestimmen sie die orthogonale Projektion des Vektors [mm] x=(0,0,1,0)^T [/mm] auf U. |
Hi zusammen,
zu a)
[mm] v1=\bruch{x(1)}{||x(1)||} [/mm] = [mm] (1/3,0,2/3,-2/3)^T
[/mm]
[mm] v2=\bruch{x(2)-v1}{||x(2)-v1||} [/mm] = [mm] (2/3,-2/3,0,1/3)^T
[/mm]
[mm] v3=\bruch{x(3)-v1-v2}{||x(3)-v1-v2||} [/mm] = [mm] (0,1/3,2/3,2/3)^T
[/mm]
Ich habe das ganze einfach an einem Beispiel nachgerechnet ohne wirklich zu wissen was ich da eigentlich mache. Was davon ist jetzt die Orthonormalbasis?
Die brauche ich ja wieder in Aufgabe b)
Dimension:
Ich sehe keine Möglichkeit durch ein Kombination 2 Vektoren den 3 zu bekommen.
Also habe ich dimU=3
Habe auch alle 3 einzeln miteinander =0 gesetzt und immer [mm] \lambda [/mm] 1 & 2 =0 heraus bekommen.
zu b)
xu = [mm] \lambda [/mm] j * x(i)
[mm] \lambda [/mm] j = [mm] \bruch{}{||xj||^2}
[/mm]
Zum lösen der Aufgabe muss ich wissen was die Orthonormalbasis (x(i)) aus Aufgabe a) ist.
Also komm ich hier auch wieder auf die Frage aus Teile a) zurück.
Kann mir jemand erklären was ich in Teil a) gemacht habe und was dort die Orthonormalbasis ist ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Mi 04.12.2013 | | Autor: | chrisno |
> Gegeben seien die Vektoren [mm]x(1)=(1,0,2,-2)^T[/mm] ,
> [mm]x(2)=(4,-2,4,-3)^T[/mm] und x(3)=(2,3,10,-7)T .
>
> a)
> Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des von x(1), x(2) und
> x(3) aufgespannten Unterraums U. Welche Dimensions hat U?
> b)
> Bestimmen sie die orthogonale Projektion des Vektors
> [mm]x=(0,0,1,0)^T[/mm] auf U.
> Hi zusammen,
>
> zu a)
> [mm]v1=\bruch{x(1)}{||x(1)||}[/mm] = [mm](1/3,0,2/3,-2/3)^T[/mm]
>
> [mm]v2=\bruch{x(2)-v1}{||x(2)-v1||}[/mm] =
> [mm](2/3,-2/3,0,1/3)^T[/mm]
>
> [mm]v3=\bruch{x(3)-v1-v2}{||x(3)-v1-v2||}[/mm]
> = [mm](0,1/3,2/3,2/3)^T[/mm]
>
> Ich habe das ganze einfach an einem Beispiel nachgerechnet
> ohne wirklich zu wissen was ich da eigentlich mache. Was
> davon ist jetzt die Orthonormalbasis?
Die drei Vektoren v1, v2 und v3.
Prüfe nach: hat jeder den Betrag 1? gilt für alle paarweise, dass das Skalarprodukt Null wird?
Wenn das so ist, dann hast Du eine Orthonomalbasis. Das lässt sich alles im Kopf berechnen.
> Die brauche ich ja wieder in Aufgabe b)
>
> Dimension:
> Ich sehe keine Möglichkeit durch ein Kombination 2
> Vektoren den 3 zu bekommen.
> Also habe ich dimU=3
> Habe auch alle 3 einzeln miteinander =0 gesetzt und immer
> [mm]\lambda[/mm] 1 & 2 =0 heraus bekommen.
Das ist nicht korrekt beschrieben, aber ich verstehe es so, dass Du die lineare Unabhängigkeit nachgewiesen hast.
>
> zu b)
> xu = [mm]\lambda[/mm] j * x(i)
>
> [mm]\lambda[/mm] j = [mm]\bruch{}{||xj||^2}[/mm]
>
> Zum lösen der Aufgabe muss ich wissen was die
> Orthonormalbasis (x(i)) aus Aufgabe a) ist.
> Also komm ich hier auch wieder auf die Frage aus Teile a)
> zurück.
> Kann mir jemand erklären was ich in Teil a) gemacht habe
> und was dort die Orthonormalbasis ist ?
Du hast mit einem vorgegebenen Verfahren
- den ersten Vektor normiert, das heißt auf die Länge 1 gebracht
- vom zweiten Vektor alles, was in die gleiche Richtung wie Vektor 1 zeigt, entfernt (das steht im Zähler) und den Rest auf die Länge 1 gebracht (mit dem passenden Nenner),
- vom dritten Vektor alles, was in die gleiche Richtung wie Vektor 1 oder Vektor 2 zeigt, entfernt und den Rest auf die Länge 1 gebracht.
Damit haben die drei Vektoren alle keinen gemeinsamen Richtungsanteil mehr, sie sind also senkrecht zueinander (orthogonal). Weiterhin haben sie nun alle die Länge 1, sind also normiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Hi,
danke erstmal für die Antwort.
Ich habe v1, v2, v3 als Betrag und deren Skalarprodukte gebildet und die Beträge sind immer 1 und bei den Skalarprodukte kommt immer 0 heraus.
Also habe ich eine Orthonormalbasis.
Nun habe ich noch zu b) weitere Fragen.
[mm] \lambda [/mm] j = [mm] \bruch{}{||xj||^2}
[/mm]
Muss ich nun die Summe alle <x,xj> immer Nenner nehmen und im Zähler die Summe aller [mm] ||xj||^2 [/mm] nehmen um [mm] \lambda [/mm] zu bekommen?
Meine zweite Frage:
xu = [mm] \lambda [/mm] j * xi
Welchen Vektor der 3 (x(1),x(2),x(3)) muss ich nehmen oder muss ich alle drei zuvor addieren multiplizieren oder was auch immer ?
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> Nun habe ich noch zu b) weitere Fragen.
Hallo,
es geht um die orthogonale Projektion auf U.
Wenn [mm] x_1,x_2,...,x_k [/mm] eine Basis von U ist, bekommt man die orthogonale Projektion [mm] x_U [/mm] von x auf U so:
[mm] x_U=\summe_{j=1}^k\lambda_jx_j [/mm] mit
> [mm]\lambda[/mm] j = [mm]\bruch{}{||xj||^2}[/mm].
Dein U hat die Dimension 3, also hast Du
[mm] x_u=\summe_{j=1}^3\bruch{}{||x_j||^2}x_j=\bruch{}{||x_1||^2}x_1+\bruch{}{||x_2||^2}x_2+\bruch{}{||x_3||^2}x_3.
[/mm]
>
> Muss ich nun die Summe alle <x,xj> immer Nenner nehmen und
> im Zähler die Summe aller [mm]||xj||^2[/mm] nehmen um [mm]\lambda[/mm] zu
> bekommen?
Ich verstehe die Frage nicht.
>
> Meine zweite Frage:
> xu = [mm]\lambda[/mm] j * xi
> Welchen Vektor der 3 (x(1),x(2),x(3)) muss ich nehmen oder
> muss ich alle drei zuvor addieren multiplizieren oder was
> auch immer ?
Alle drei Vektoren kommen vor.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Danke für die Hilfe.
Ich habe eine Frage etwas umständlich gestellt, ihre Antwort war aber genau das was ich wissen wollte.
Also Danke noch einmal
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