Orthonormale Funktionen, Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 So 21.02.2010 | | Autor: | suho |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe mich gerade beim Vorbereiten auf die Klausur zum Thema Elektrodynamik mit den Bessel'schen Funktionen beschäftigt. Es wird in der Literatur gezeigt, dass man viele Funktionen in einer Reihe von Besselfunktionen entwickeln kann. Beim Thema Fourierreihe habe ich vorher auch schon von Orthogonalen Funktionen etc. gelesen, aber dem nicht wirklich meine Aufmerksamkeit geschenkt. Nun kam mir aber doch die Frage in den Sinn, was es mit der Theorie hinter den "orthogonalen Funktionen" auf sich hat. Also hab ich mal ein nach Antworten gesucht.
Angenommen ich habe einen orthonormalen Funktionenraum mit [mm] Z_{n}(x). [/mm] Bedeutet, dass Skalarprodukt [mm] \{Z_{n}(x),Z_{m}(x)\}=0 [/mm] für [mm] n\not=m [/mm] und =1 für n=m.
Wenn ich jetzt annehme diese Funktionen seien Quadratintegrierbar auf einem Intervall [a,b], dann kann ich eine andere Funktion die auf diesem Interval ebenfalls Quadrahtintegrierbar ist in eine Reihe mit ersteren Funktionen entwickeln. Stetig und diffbar muss glaub ich nicht unbedingt gegeben seien, eine Fourierreihe konvergiert doch auch, bis auf endlich viele Punkte wenn die Funktion nicht stetig ist, siehe Gibbs-Phänomen.
Also setze ich einfach folgende Reihe an:
[mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*Z_{n}(x)
[/mm]
Die Koeffizienten werden nun, soweit ich das verstanden habe, in der Weise bestimmt, dass der Quadrahtfehler minimiert wird:
[mm] E=\integral_{a}^{b}{(f(x)-\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*Z_{n}(x))^{2} dx}
[/mm]
Unter Zuhilfename der Orthonormalitätsrelation kann ich das Integral wie folgt verinfachen:
[mm] E=\integral_{a}^{b}{f^{2}(x) - 2*f(x)*\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*Z_{n}(x) + \summe_{n=0}^{\infty}(a_{n}*Z_{n}(x))^{2} dx}
[/mm]
Wie aber komme von hier nun auf das Ergebniss:
[mm] a_{n}=\integral_{a}^{b}{f(x)*Z_{n}(x) dx}
[/mm]
Ich meine ich kann E doch nicht einfach nach [mm] a_{n} [/mm] ableiten und nullsetzen weil ich doch Summen von mehreren [mm] a_{n} [/mm] habe?
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Hallo,
wie gut, dass Integration linear ist. So kann man das Integral in die Summen hineinziehen und bekommt nach der Ableitung
[mm] $\sum _{n=0}^{\infty } \int_a^b \left(-2 f(x) Z_n(x)+2 a_n Z_n(x){}^2\right) \, [/mm] dx$
also:
[mm] $\sum _{n=0}^{\infty } \left(\int_a^b -2 f(x) Z_n(x) \, dx+\int_a^b 2 a_n Z_n(x){}^2 \, dx\right)$
[/mm]
wenn nun jeder einzelne Summand 0 ist, ist es auch die Summe; also wegen der Orthogonalitätseigenschaft der [mm] $Z_n$:
[/mm]
[mm] $\int_a^b [/mm] -2 f(x) [mm] Z_n(x) \, [/mm] dx+2 [mm] a_n=0$
[/mm]
oder eben:
[mm] $a_n=\int_a^b [/mm] f(x) [mm] Z_n(x) \, [/mm] dx$
Und da die Fehlerfunktion das Quadrat eines reellen Ausdrucks ist, liegt wie gewünscht ein Minimum vor.
Gruß,
Peter
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