Orthonormalisierungsverfahren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Mi 27.06.2007 | | Autor: | braxus |
| Aufgabe | Es sei V der VR der Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad höchstens drei, versehen mit dem Skalarprodukt
$ [mm] \left\langle f|g \right\rangle= \integral_{-1}^{1} [/mm] $ {f(t)g(t) dt}.
Wenden sie auf die Basis $ [mm] {1,x,x^{2},x^{3}} [/mm] $ von V das Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren an
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo allerseits,
dazu hätte ich folgende Frage(n)
der Aufgabenstellung nach muesste doch $ [mm] u_1=1,\ u_2=X,\ u_3=X^2,\ u_4=X^3 [/mm] $ ?
$ [mm] \langle 1|1\rangle=\int_{-1}^{1} [/mm] 1dt=1 $ wäre dann doch der erste normalisierte Vektor?
Wenn ich jetzt fuer [mm] v_2 [/mm] $ [mm] \tilde v_2=u_2-\langle u_2|v_1\rangle v_1= x-\int_{-1}^{1} t\cdot{}1dt\cdot{}1=x-\left[\bruch{t^2}{2}\right]_{-1}^1\cdot{}1=x [/mm] $ anwende... bin ich dann auf dem richtigen Weg? Oder hab ich mal wieder Hirngespinste?
Wie gehe ich weiter vor in der Normalisierung?
Viele Dank
|
|
| |
|
> Es sei V der VR der Polynome mit reellen Koeffizienten vom
> Grad höchstens drei, versehen mit dem Skalarprodukt
> [mm]\left\langle f|g \right\rangle= \integral_{-1}^{1}[/mm]
> {f(t)g(t) dt}.
> Wenden sie auf die Basis [mm]{1,x,x^{2},x^{3}}[/mm] von V das
> Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren an
Hallo,
den Algorithmus des Verfahrens findet man z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
>
> der Aufgabenstellung nach muesste doch [mm]u_1=1,\ u_2=X,\ u_3=X^2,\ u_4=X^3[/mm]
Naja, in obigem Algorithmus wären es die Vektoren [mm] v_1,..., v_4...
[/mm]
Aber Namen sind Schall und Rauch, und wenn Du die 4 zu orthonormalisierenden Vektoren [mm] u_1,...,u_4 [/mm] nennen willst, darfst Du das tun.
> [mm]\langle 1|1\rangle=\int_{-1}^{1} 1dt=1[/mm] wäre dann doch der
> erste normalisierte Vektor?
Ganz langsam.
Der erste lediglich zu normalisierende Vektor ist [mm] u_1=1.
[/mm]
Wie geht das?
Der normierte Vektor, der erste der gesuchten ONB, wäre
[mm] w_1=\bruch{u_1}{\wurzel{}}=\bruch{1}{\wurzel{\integral_{-1}^{1} {1*1dt}}}.
[/mm]
Dieses Integral unten solltest Du nochmal fein langsam ausrechnen, denn das da
> [mm] \int_{-1}^{1} [/mm] 1dt=1
ist nicht richtig.
>
> Wenn ich jetzt fuer [mm]v_2[/mm] [mm]\tilde v_2=u_2-\langle u_2|v_1\rangle v_1= x-\int_{-1}^{1} t\cdot{}1dt\cdot{}1=x-\left[\bruch{t^2}{2}\right]_{-1}^1\cdot{}1=x[/mm]
> anwende... bin ich dann auf dem richtigen Weg?
Ja, das ist richtig. Den Vektor, den Du erhältst, mußt Du dann wieder normalisieren, also
[mm] w_2:=\bruch{\tilde v_2}{||\tilde v_2||}=\bruch{\tilde v_2}{\wurzel{<\tilde v_2,\tilde v_2>}} [/mm]
berechnen. [mm] w_2 [/mm] ist der zweite Vektor Deiner ONB.
Weiter dann wie im Algorithmus vorgegeben. [mm] \tilde v_3 [/mm] berechnen, normieren ergibt [mm] w_3. [/mm] Dann [mm] \tilde v_4 [/mm] berechnen, normieren ergibt [mm] w_4.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Mi 27.06.2007 | | Autor: | braxus |
Fehler erkannt und eliminiert :)
Der Rest ist einleuchtend. Ich danke vielmals
|
|
|
|
