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| Aufgabe | Gegeben: Euklidischer Vektorraum R³ mit Standardskalarprodukt <x,y>=x1y2+x2y2+x3y3
Zeigen Sie, dass [mm] v1=0,5\vektor{\wurzel{2} \\ 1\\1}, v2=0,5\vektor{-\wurzel{2} \\ 1\\1} [/mm] orthonormal (d.h. orthogonal und normiert) sind. |
Hi,
bei dieser Aufgabe komm ich nicht zurecht. Ich weiss gar nicht wie ich da ran gehe. Kann mir bitte jemand einen Ansatz geben damit ich ne Richtung hab.
LG
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> Gegeben: Euklidischer Vektorraum R³ mit
> Standardskalarprodukt <x,y>=x1y2+x2y2+x3y3
>
> Zeigen Sie, dass [mm]v1=0,5\vektor{\wurzel{2} \\ 1\\1}, v2=0,5\vektor{-\wurzel{2} \\ 1\\1}[/mm]
> orthonormal (d.h. orthogonal und normiert) sind.
> Hi,
> bei dieser Aufgabe komm ich nicht zurecht. Ich weiss gar
> nicht wie ich da ran gehe. Kann mir bitte jemand einen
> Ansatz geben damit ich ne Richtung hab.
> LG
Hallo,
orthogonal sind Vektoren, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.
Wie man das Skalarprodukt ausrechnet, ist Dir sogar angegeben: jeweils die entsprechenden Komponenten multiplizieren und dann addieren:
[mm] <\vektor{1\\2\\3}, \vektor{4\\5\\6}>=1*4+2*5+3*6.
[/mm]
Normiert bedeutet, daß die Länge des Vektors 1 beträgt.
man kann die Länge, den Betrag, eines Vektors v so berechnen: [mm] \wurzel{}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hi, danke für die schnelle Reaktion. Ich habe das grade probiert und für das Skalarprodukt <v1,v2>=2 heraus bekommen. Das würde dann also schon bedeuten, dass die Vektoren nicht orthonormal sind oder hab ich das Skalarprodukt falsch berechnet?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Di 13.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi, danke für die schnelle Reaktion. Ich habe das grade
> probiert und für das Skalarprodukt <v1,v2>=2 heraus
> bekommen. Das würde dann also schon bedeuten, dass die
> Vektoren nicht orthonormal sind oder hab ich das
> Skalarprodukt falsch berechnet?
Das hast Du
FRED
>
> LG
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Hehe ok, kommt doch Null raus.
Und die Längen von <v1,v1> und <v2,v2> sind auch jeweils gleich 1 somit sind die Vektoren orthonormal.
Aber eins noch. Wie mache ich das wenn ich die beiden Vektoren um einen Vektor V3 ergänzen möchte, so das die drei Vektoren v1, v2, v3 dann eine Basis des R³ sind?
Kann ich da nicht einfach [mm] v3=\vektor{1 \\ 0\\ 0}nehmen. [/mm] Es geht doch darum, dass ich mit den 3 Vektoren und den jeweiligen lambdas, den R³ aufspannen kann, oder? Wäre das bei meinem [mm] v3=\vektor{1 \\ 0\\ 0} [/mm] nicht der Fall?
LG
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> Aber eins noch. Wie mache ich das wenn ich die beiden
> Vektoren um einen Vektor V3 ergänzen möchte, so das die
> drei Vektoren v1, v2, v3 dann eine Basis des R³ sind?
> Kann ich da nicht einfach [mm]v3=\vektor{1 \\ 0\\ 0}nehmen.[/mm] Es
> geht doch darum, dass ich mit den 3 Vektoren und den
> jeweiligen lambdas, den R³ aufspannen kann, oder?
> Wäre das
> bei meinem [mm]v3=\vektor{1 \\ 0\\ 0}[/mm] nicht der Fall?
Hallo,
doch, eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] wäre das, Du kannst Dich ja davon überzeugen, daß die drei linear unabhängig sind.
Wenn ich aber nun mal etwas hellsehe, stelle ich fest, daß von Dir nicht einfach verlangt ist, zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] zu ergänzen, sondern daß Du da? Du zu einer Orthonormalbasis ergänzen sollst. Das bedeutet, daß Du Deinen dritten Vektor so finden mußt, daß er nicht nur normiert ist, sondern auch senkrecht zu den beiden anderen ist.
Und? Hab' ich richtig in den Kaffeesatz geschaut?
Gruß v. Angela
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Hmm genau das wäre die 3. Aufgabe und das verwirrt mich jetzt ein wenig. Wenn ich den von mir gewählten Vektor V3 nehme dann hab ich mit v1,v2 und v3 eine Basis des R³. Dann kann ich doch hinterher das Gram-Schmidt-Verfahren anwenden und so eine orthonormalbasis bilden, vollkommen unabhängig davon was für einen Vektor v3 ich davor genommen habe oder nicht? So hab ich mir das jedenfalls gedacht. Allerdings kommt mir die Aufgabe 2 (Bestimme V3) dann doch etwas zu einfach vor :-(
Lg
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> Hmm genau das wäre die 3. Aufgabe und das verwirrt mich
> jetzt ein wenig. Wenn ich den von mir gewählten Vektor V3
> nehme dann hab ich mit v1,v2 und v3 eine Basis des R³. Dann
> kann ich doch hinterher das Gram-Schmidt-Verfahren anwenden
> und so eine orthonormalbasis bilden, vollkommen unabhängig
> davon was für einen Vektor v3 ich davor genommen habe oder
> nicht? So hab ich mir das jedenfalls gedacht. Allerdings
> kommt mir die Aufgabe 2 (Bestimme V3) dann doch etwas zu
> einfach vor :-(
Hallo,
warum soll man's nicht auch mal etwas leicht haben im Leben?
Deine Mathechefs sind doch (hoffentlich) nicht einem Horrorszenario entsprungen.
[mm] v_3 [/mm] zu nehmen und dann zu gramschmidten ist genau richtig.
Alternativ könntest Du den fehlenden Vektor für die letzte Teilaufgabe auch mit dem Kreuzprodukt finden - aber das war wahrscheinlich gar nicht dran.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Di 13.01.2009 | | Autor: | aliaszero |
Stimmt, ich sag ja schon nix  hab dannach das Gram-Schmidt-Verfahren angewendet und hab für [mm] w3=\vektor{\bruch{\wurzel{2}}{2} \\-0,5\\ -0,5} [/mm] raus. Wenn ich mich nicht verrechnet hab, müsste das so stimmen.
Nochmal vielen dank für die Hilfe, Ihr seid ein richtig Klasse Forum!
LG
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