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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Sa 09.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich habe [mm] v_1=\vektor{0 \\ 2} [/mm] und [mm] v_2=\vektor{\bruch{2}{3} \\ 0}
[/mm]
gegeben und will die orthonormieren.
Aber irgendwie funktioniert das nicht:
Normalisieren des ersten Vektors [mm] v_1: [/mm]
[mm] u_1=\bruch{v_1}{\parallel v_1 \parallel}=\bruch{1}{\wurzel{4}}*\vektor{0 \\ 2}
[/mm]
Orthogonalisieren von [mm] v_2:
[/mm]
[mm] u^{'}_2=v_2-*u_1=\vektor{\bruch{2}{3} \\ 0}-\bruch{1}{\wurzel{4}}*<\vektor{\bruch{2}{3} \\ 0},\vektor{0 \\ 2}>*\bruch{1}{\wurzel{4}}*\vektor{0 \\ 2}=\vektor{\bruch{2}{3} \\ 0}
[/mm]
Normalisieren von [mm] u^{'}_2:
[/mm]
[mm] u_2=\bruch{v_1}{\parallel v_1 \parallel}=\bruch{1}{\wurzel{\bruch{4}{9}}}*\vektor{\bruch{2}{3} \\ 0}
[/mm]
Also irgendwas stimmt hier doch nicht, nur was? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
MfG
barsch
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> Hi,
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> ich habe [mm]v_1=\vektor{0 \\ 2}[/mm] und [mm]v_2=\vektor{\bruch{2}{3} \\ 0}[/mm]
>
> gegeben und will die orthonormieren.
>
> Aber irgendwie funktioniert das nicht:
>
> Normalisieren des ersten Vektors [mm]v_1:[/mm]
>
> [mm]u_1=\bruch{v_1}{\parallel v_1 \parallel}=\bruch{1}{\wurzel{4}}*\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>
> Orthogonalisieren von [mm]v_2:[/mm]
>
> [mm]u^{'}_2=v_2-*u_1=\vektor{\bruch{2}{3} \\ 0}-\bruch{1}{\wurzel{4}}*<\vektor{\bruch{2}{3} \\ 0},\vektor{0 \\ 2}>*\bruch{1}{\wurzel{4}}*\vektor{0 \\ 2}=\vektor{\bruch{2}{3} \\ 0}[/mm]
>
> Normalisieren von [mm]u^{'}_2:[/mm]
>
> [mm]u_2=\bruch{v_1}{\parallel v_1 \parallel}=\bruch{1}{\wurzel{\bruch{4}{9}}}*\vektor{\bruch{2}{3} \\ 0}[/mm]
>
> Also irgendwas stimmt hier doch nicht, nur was?
>
Hallo,
wenn das Skalarprodukt, welches Dir zur Verfügung steht, das "ganz normale" Skalarprodukt ist, ist doch alles in bester Ordnung.
Das Deine beiden Vektoren orthogonal sind, ist kein Geheimnis, man sieht es sofort.
Eigentlich könnte man sie auch im Vorübergehen orthonormieren, aber wenn Du Gram-Schmidt nehmen willst: bitte!
> [mm]u_1=\bruch{v_1}{\parallel v_1 \parallel}=\bruch{1}{\wurzel{4}}*\vektor{0 \\ 2}[/mm]
[mm] =\vektor{0 \\ 1}
[/mm]
> [mm]u_2=\bruch{v_1}{\parallel v_1 \parallel}=\bruch{1}{\wurzel{\bruch{4}{9}}}*\vektor{\bruch{2}{3} \\ 0}[/mm]
[mm] =\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
Orthonormaler geht's doch fast nicht.
Allerdings: ich werde das Gefühl nicht los, daß Du nicht bzgl des Standardskalarproduktes orthonormalisieren sollst.
Gehört zu Deiner Aufgabe irgendein spezielles Skalarprodukt? Dann mußt Du überall, wo <x,y> steht, dieses Skalarprodukt verwenden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Sa 09.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
dein Gefühl trügt nicht. Ich habe folgendes gegeben:
[mm] s(f,g):=\integral_{-1}^{1}{f(x)*g(x) dx}.
[/mm]
Basis ist S={1,t}.
> Hallo,
>
> wenn das Skalarprodukt, welches Dir zur Verfügung steht,
> das "ganz normale" Skalarprodukt ist, ist doch alles in
> bester Ordnung.
>
> Das Deine beiden Vektoren orthogonal sind, ist kein
> Geheimnis, man sieht es sofort.
> Eigentlich könnte man sie auch im Vorübergehen
> orthonormieren, aber wenn Du Gram-Schmidt nehmen willst:
> bitte!
>
> > [mm]u_1=\bruch{v_1}{\parallel v_1 \parallel}=\bruch{1}{\wurzel{4}}*\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{0 \\ 1}[/mm]
>
> > [mm]u_2=\bruch{v_1}{\parallel v_1 \parallel}=\bruch{1}{\wurzel{\bruch{4}{9}}}*\vektor{\bruch{2}{3} \\ 0}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
> Orthonormaler geht's doch fast nicht.
>
> Allerdings: ich werde das Gefühl nicht los, daß Du nicht
> bzgl des Standardskalarproduktes orthonormalisieren
> sollst.
> Gehört zu Deiner Aufgabe irgendein spezielles
> Skalarprodukt? Dann mußt Du überall, wo <x,y> steht, dieses
> Skalarprodukt verwenden.
Jetzt muss ich <x,y> durch dieses Skalarprodukt (siehe oben) ersetzen?
MfG
barsch
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo barsch,
hmm sehe ich das richtig, dass dein zugrunde liegender VR V der VR der reellen Polynome vom Grade \le 1 ist?
Dann sind v_1,v_2 also die Polynome v_1=\vektor{0\\ 2}=2x und v_2=\vektor{\frac{2}{3}\\ 0}=\frac{2}{3}
Die sind immer noch othogonal zueinander bzgl. des Skalarproduktes $\langle ,\rangle$, denn:
$\langle v_1,v_2\rangle=\int\limits_{-1}^1{2x\cdot{}\frac{2}{3}dx}=\int\limits_{-1}^1{\frac{4}{3}xdx}=\left[\frac{2}{3}x^2\right]_{-1}^1=0$
Nun musst du nur noch normieren:
$u_1:=\frac{v_1}{||v_1||}=\frac{v_1}{\sqrt{\langle 2x,2x\rangle}}=\frac{v_1}{\sqrt{\int\limits_{-1}^1{4x^2dx}}}=\frac{v_1}{\sqrt{\left[\frac{4}{3}x^3\right]_{-1}^1}}=\frac{v_1}{\sqrt{\frac{8}{3}}$
$=\sqrt{\frac{3}{8}}v_1=\sqrt{\frac{3}{8}}2x=2\cdot{}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}x=\sqrt{\frac{3}{2}}x=\vektor{0\\ \sqrt{\frac{3}{2}}}$
Dasselbe nun mit v_2
Dann haste orthonormale Vektoren
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:07 So 10.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Hallo barsch,
>
> hmm sehe ich das richtig, dass dein zugrunde liegender VR V
> der VR der reellen Polynome vom Grade [mm]\le[/mm] 1 ist?
Ja, das siehst du richtig..
> Dann sind [mm]v_1,v_2[/mm] also die Polynome [mm]v_1=\vektor{0\\ 2}=2x[/mm]
> und [mm]v_2=\vektor{\frac{2}{3}\\ 0}=\frac{2}{3}[/mm]
>
> Die sind immer noch othogonal zueinander bzgl. des
> Skalarproduktes [mm]\langle ,\rangle[/mm], denn:
>
> [mm]\langle v_1,v_2\rangle=\int\limits_{-1}^1{2x\cdot{}\frac{2}{3}dx}=\int\limits_{-1}^1{\frac{4}{3}xdx}=\left[\frac{2}{3}x^2\right]_{-1}^1=0[/mm]
>
>
> Nun musst du nur noch normieren:
>
> [mm]u_1:=\frac{v_1}{||v_1||}=\frac{v_1}{\sqrt{\langle 2x,2x\rangle}}=\frac{v_1}{\sqrt{\int\limits_{-1}^1{4x^2dx}}}=\frac{v_1}{\sqrt{\left[\frac{4}{3}x^3\right]_{-1}^1}}=\frac{v_1}{\sqrt{\frac{8}{3}}[/mm]
>
> [mm]=\sqrt{\frac{3}{8}}v_1=\sqrt{\frac{3}{8}}2x=2\cdot{}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}x=\sqrt{\frac{3}{2}}x=\vektor{0\\ \sqrt{\frac{3}{2}}}[/mm]
>
> Dasselbe nun mit [mm]v_2[/mm]
>
> Dann haste orthonormale Vektoren
>
>
> LG
>
> schachuzipus
>
Alles klar, vielen Dank. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Dann werde ich das mal machen.
MfG
barsch
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:16 So 10.06.2007 | | Autor: | barsch |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Di 12.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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