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| Aufgabe | Gegeben ist eine Funktionenschar fa mit
fa (x) = [mm] -a^2 [/mm] * [mm] x^2 [/mm] + x , a > 0
c) Geben Sie die Ortskurve aller Extrempunkte an. |
Hallo zusammen.
Sitze gerade vor meiner Hausaufgabe und habe heute im Unterricht zum ersten mal von der Ortskuve gehört. Wie berechne ich nun die Ortskurve zu der Funktionenschar, vor allem, wenn ich bei der Extremstellenberechnung x1 und x2 rausbekommen habe.
x1 : [mm] \wurzel{a/(3a^2)}
[/mm]
x2 : - [mm] \wurzel{a/(3a^2)}
[/mm]
Hatten in der Schule nur ein x. Hoffe ihr versteht was ich meine und könnt mir irgendwie helfen.
Liebe Grüße!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Do 31.08.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Janina,
das Problem fängt bereits bei deinen Extremstellen an. Die hast du nämlich nicht richtig berechnet.
Ich nehme an du weisst, dass man die Nullstellen der 1.Ableitung (als mögliche Extremstellen) zu suchen hat, also:
[mm] f_a(x)=-a^2x^2+x
[/mm]
[mm] f_a'(x)=-2a^2x+1
[/mm]
[mm] f_a'(x)=0 \gdw x=\bruch{1}{2a^2}
[/mm]
Da [mm] f_a''(x)=-2a^2<0 [/mm] , weil a<0 (also insbesondere [mm] a\not=0), [/mm] ist [mm] x=\bruch{1}{2a^2} [/mm] Hochpunkt von [mm] f_a.
[/mm]
Jetzt noch die y-Koordinate der Hochpunkte:
[mm] f_a(\bruch{1}{2a^2})=-a^2(\bruch{1}{2a^2})^2+\bruch{1}{2a^2}=-\bruch{1}{4a^2}+\bruch{1}{2a^2}=\bruch{1}{4a^2}.
[/mm]
Die Hochpunkte haben also in Abhängigkeit von a folgende Koordinaten:
[mm] H_a(\bruch{1}{2a^2},\bruch{1}{4a^2}). [/mm]
Bis hierhin hat das noch nichts mit der Ortskurve der Extrempunkte zu tun.
Um die Ortskurve zu bestimmen machst du folgendes:
Ersetze die x-Koordinate der Hochpunkte (die ist [mm] \bruch{1}{2a^2}) [/mm] durch x, also einfach:
[mm] x=\bruch{1}{2a^2}. [/mm]
Jetzt hast du deine x-Koordinate nicht mehr in Abhängigkeit von a, sondern von x. Das willst du auch mit der y-Koordinate haben. Löse also [mm] x=\bruch{1}{2a^2} [/mm] nach [mm] a^2 [/mm] auf:
[mm] a^2=\bruch{1}{2x}
[/mm]
und ersetze dann das [mm] a^2 [/mm] in der y-Koordinate durch das, was du eben errechnet hast, nämlich [mm] a^2=\bruch{1}{2x}. [/mm]
Aus [mm] y=\bruch{1}{4a^2} [/mm] wird dadurch:
[mm] y=\bruch{1}{4\bruch{1}{2x}}=\bruch{1}{\bruch{4}{2x}}=\bruch{1}{2}x
[/mm]
Deine Koordinaten der Hochpunkte hast du jetzt nicht mehr in Abhängigkeit von a, sondern von x, nämlich [mm] H_x(x,\bruch{1}{2}x) [/mm] und die Gleichung [mm] y=\bruch{1}{2}x [/mm] ist bereits die Funktionsgleichung der Ortskurve.
LG walde
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Kann es sein, dass ich mich versehen habe und
x1 : [mm] \wurzel{a/(3a^2)}
[/mm]
x2 : - [mm] \wurzel{a/(3a^2)}
[/mm]
die Extrempunkte von der Funktionenschar fa(x) = [mm] -a^2 [/mm] * [mm] x^3 [/mm] + a sind?
Danke schonmal für deine Hilfe!
Liebe Grüße
Janina
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> Kann es sein, dass ich mich versehen habe und
>
> x1 : [mm]\wurzel{a/(3a^2)}[/mm]
> x2 : - [mm]\wurzel{a/(3a^2)}[/mm]
>
> die Extrempunkte von der Funktionenschar fa(x) = [mm]-a^2[/mm] * [mm]x^3[/mm]
> + a sind?
Nein, das kann nicht sein... Die Ableitung der Funktionenschar lautet
[mm]f_a'(x)=-3a^2\cdot x^2[/mm].
Wenn du das gleich 0 setzt, erhältst du als mögliche Extremstelle x=0 (unabhängig von a)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Do 31.08.2006 | | Autor: | Xx.Nini.xX |
Habe meinen Fehrler jetzt gefunden.
Vielen Dank. Melde mich dann vielleicht morgen nochmal zu den Ortskurven.
Liebe Grüße!
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