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| Aufgabe | Bestimme außerdem die Ortslinie der Extrempunkte aller Graphen zu [mm] f_{k} [/mm] mit [mm] k\in\IR [/mm] .
[mm] f_{k}(x)=(3-x^{2})*e^{kx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe zu diesem Problem bereits die erste Ableitung gebildet:
[mm] -e^{kx}*(kx^{2}+2x-3k)
[/mm]
und wenn ich die erste Ableitung gleich Null setzte erhalte ich folgende Ergebnisse:
[mm] x_{1}=(\wurzel[2]{3k^{2}+1}-1)/k [/mm] und [mm] x_{2}=(-\wurzel[2]{3k^{2}+1}-1)/k
[/mm]
Und für diese beiden Ergebnisse muss ich dann ja den Funktionswert in Abhängigkeit von k bestimmen, indem ich beide Ergbenisse in [mm] f_{k}(x)=(3-x^{2})*e^{kx} [/mm] einsetze.
Das habe ich auch schon gemacht. Und dann muss ja normalerweise
die Gleichung
[mm] x=(\wurzel[2]{3k^{2}+1}-1)/k [/mm] nach k umstellen und in die Gleichung mit dem Funktionswert y=...
einsetzen. (Also für die erste der beiden möglichen Lösungen)
Mein Problem ist jetzt wie ich die Gleichung [mm] x=(\wurzel[2]{3k^{2}+1}-1)/k
[/mm]
nach k umstelle. Hier komme ich nicht weiter.
Könnt ihr mir einen Tipp geben wie ich da vorgehen muss?
Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Sa 03.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo alterating,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Zum einen kannst Du die Gleichung $x \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{3k^2+1}-1}{k}$ [/mm] umstellen, indem Du zunächst mit $k_$ multiplizierst, anschließend $+1_$ rechnest und dann die Gleichung quadrierst.
Etwas einfacher geht es aber, wenn Du gleich aus der 1. Ableitung [mm] $f_k'(x) [/mm] \ = \ 0$ nach $k \ = \ ...$ umstellst:
$f'(x) \ = \ [mm] -e^{kx}*\left(k*x^{2}+2x-3k\right) [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\gdw$ $k*x^2-3k+2x [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\gdw$ $k*\left(x^2-3\right) [/mm] \ = \ -2x$
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
danke für deine schnelle Antwort. Also ich nehme an du meinst folgendes:
1.) [mm] x=(\wurzel{3k^{2}+1}-1)/k
[/mm]
2.) [mm] xk=\wurzel{3k^{2}+1}-1
[/mm]
3.) [mm] xk+1=\wurzel{3k^{2}+1}
[/mm]
4.) [mm] (xk+1)^{2}=3k^{2}+1
[/mm]
5.) [mm] x^{2}k^{2}+2xk+1=3k^{2}+1
[/mm]
6.) [mm] x^{2}k^{2}+2xk=3k^{2} [/mm] dann mit 1/(k) multiplizieren
7.) [mm] x^{2}k+2x=3k
[/mm]
8.) [mm] x^{2}k-3k=-2x [/mm] dann k auf der linken Seite faktorisieren
9.) [mm] k(x^{2}-3)=-2x
[/mm]
10.) [mm] k=(-2x)/(x^{2}-3)
[/mm]
Ich habe noch eine Frage zu dem Multiplizieren mit 1/(k).
Ist es nicht normalerweise so, dass wenn ich eine Gleichung auf diese Art und Weise multipliziere
ich eine Lösung unterschlage, da ich eine Lösungsvaribale rauskürze und möglicherweise für k=0 sogar einen Fehler begehe? Und meine Gegenfrage: Ist es dann in diesem Fall deswegen legitimiert, weil ich vorher die ganze Gleichung quadriere und damit für 2 statt einer Lösung sorge und dadurch dann das Multiplizieren mit 1/(k) legitimiert wird. Ich hoffe du verstehst was ich meine, denn ich habe so das Gefühl in Etwa zu verstehen wann was welche formalen Folgen mitsich bringt, nur mit fehlt manchmal die Gewissheit ob wirklich der Sachverhalt vorliegt den ich vermute.
Aber ich sehe in der Tat ein, dass deine alternative Lösung wesentlich eleganter ist, Zeit spart, und nicht die Problematik mit der Wurzel einführt, die man ansonsten ja dann wieder loswerden muss.
Also vielen Dank für deine schnelle Hilfe, du hast mich weiter gebracht.
Demnach muss ich dann den Term [mm] (-2x)/(x^{2}-3) [/mm] für die k-Werte in der y=.. Funktionswerte-Gleichung einsetzen um meine Ortskurve der Extrema zu erhalten, oder?
Gruß Niko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 So 04.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Niko!
> 1.) [mm]x=(\wurzel{3k^{2}+1}-1)/k[/mm]
> ...
> 6.) [mm]x^{2}k^{2}+2xk=3k^{2}[/mm] dann mit 1/(k) multiplizieren
Sauberer wäre es, alles auf eine Seite zu bringen und anschließend $k_$ auszuklammern ...
> ...
> 10.) [mm]k=(-2x)/(x^{2}-3)[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Ich habe noch eine Frage zu dem Multiplizieren mit 1/(k).
> Ist es nicht normalerweise so, dass wenn ich eine
> Gleichung auf diese Art und Weise multipliziere
> ich eine Lösung unterschlage, da ich eine Lösungsvaribale
> rauskürze und möglicherweise für k=0 sogar einen Fehler begehe?
Dein Gefühl gibt Dir Recht. Wenn Du die Gleichung mit [mm] $\bruch{1}{k}$ [/mm] multiplizierst, musst Du sicherstellen, dass dies auch zulässig ist. Dafür musst Du lediglich den Sonderfall $k \ = \ 0$ noch separat untersuchen.
Für $k \ = \ 0$ "verkümmert" die Kurvenschar ja zu einer schlichten Parabel: [mm] $f_0(x) [/mm] \ = \ [mm] 3-x^2$
[/mm]
Andererseits mussten wir den Fall $k \ = \ 0$ bereits bei der vorigen Rechnung ausschließen, da wir ja sonst auch überhaupt keine Extremstellen erhalten hätten. Denn bei der $x_$-Lösung steht $k_$ ja auch schon bereits alleine im Nenner des Bruches.
> Und meine Gegenfrage: Ist es dann in diesem Fall
> deswegen legitimiert, weil ich vorher die ganze Gleichung
> quadriere und damit für 2 statt einer Lösung sorge und
> dadurch dann das Multiplizieren mit 1/(k) legitimiert wird.
Nein, das hat damit überhaupt nichts zu tun.
Im Gegenteil: da das Quadrieren einer Gleichung keine Äquivalanzumformung ist, musst Du hier streng genommen noch die Probe durchführen mit den beiden Fällen [mm] $k_1\ [/mm] = \ 0$ bzw. [mm] $k_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x}{3-x^2}$ [/mm] . Und fällt dann die Variente [mm] $k_1 [/mm] \ = \ 0$ schnell weg.
> Demnach muss ich dann den Term [mm](-2x)/(x^{2}-3)[/mm] für die
> k-Werte in der y=.. Funktionswerte-Gleichung einsetzen um
> meine Ortskurve der Extrema zu erhalten, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau ...
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
dann nochmal danke für deine schnelle Hilfe.
Jetzt habe ich der Vollständigkeit halber noch eine Frage ob mein Endergebnis stimmt.
Also Ziel war ja die Ortskurve der Extrema zu bestimmen.
Nachdem ich die erste Ableitung mit 0 gleichgesetzt hatte, habe ich 2 Lösungen bekommen.$ [mm] x_{1}=(\wurzel[2]{3k^{2}+1}-1)/k [/mm] $ und $ [mm] x_{2}=(-\wurzel[2]{3k^{2}+1}-1)/k [/mm] $
Daraus ergebn sich wenn ich diese in die Schargleichung einsetzte 2 Gleichungen für die jeweiligen y-Werte der Extrema (einaml HPs und TPs).
Ich bekomme da folgende 2 raus:
[mm] y_{1}=(2e^{\wurzel{3k^{2}+1}-1}*(\wurzel{3k^{2}+1}-1))/(k^{2})
[/mm]
und
[mm] y_{2}=(-2e^{-\wurzel{3k^{2}+1}-1}*(\wurzel{3k^{2}+1}-1))/(k^{2})
[/mm]
Wenn ich dann hier k jeweils mit
$ [mm] k=(-2x)/(x^{2}-3) [/mm] $ substituiere, dann erhalte ich demnach die beiden Ortskurven, eine für alle Hochpunkte und eine für alle Tiefpunkte.
Wenn ich das durchführe erhalte ich folgende Endergbenisse:
[mm] y_{1}=(2e^{\wurzel{((12x^{2})/((x^{2}-3)^{2}))+1}-1}*(\wurzel{((12x^{2})/((x^{2}-3)^{2}))+1}-1))/( ((4x^{2})/((x^{2}-3)^{2})) [/mm] als Ortskurve aller Hps
und
[mm] y_{2}=(-2e^{-\wurzel{((12x^{2})/((x^{2}-3)^{2}))+1}-1}*(\wurzel{((12x^{2})/((x^{2}-3)^{2}))+1}-1))/( ((4x^{2})/((x^{2}-3)^{2})) [/mm] als Ortskurve aller Tps
Ich bin mir nicht sicher ob diese Ergebnisse stimmen, und wäre daher dankbar wenn sie nochmal überprüft würden und ob man sie noch algebraisch vereinfachen kann. Wobei man bei solchen Termen wahrscheinlich eh auf CAS-Systeme zurückgreifen muss um sie darzustellen, weil das ansonsten sehr langwierig wird, stell ich mir zumindest so vor.
Gruß Niko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 06.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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