Ortskurve der Wendepunkte < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Fr 02.05.2008 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktionenschar [mm] f_{t}(x)=-\bruch{2x}{t}*e^{t-x} [/mm] und t>0. Untersuchen Sie die Funktionenschar und bestimmen Sie die Ortskurve der Wendepunkte. |
Ich hab hier leider noch so einige Aufgaben, bei denen ich - trotz mehrmaligem Versuch - nicht alle Teilaufgaben lösen könnte :(
Das hier ist eine davon. Die Funktionsuntersuchung hab ich hinbekommen, aber mit der Ortskurve steh ich auf Kriegsfuß.
Für die Wendepunkte hab ich herausgefunden: WP (2/ [mm] -\bruch{4}{t}*e^{t-2}
[/mm]
Bei anderen Aufgaben hatte ich bei dem x-Wert des Wendepunkts immer noch ne Unbekannte. nach der hab ich dann aufgelöst, das Ergebnis ist den y-Wert des Wendepunkts eingesetzt und dann hatte ich die Ortskurve. Aber hier? Wie soll ich denn hier die Ortskurve angeben?
Liebe Grüße,
Kati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Kati,
> Gegeben ist die Funktionenschar
> [mm]f_{t}(x)=-\bruch{2x}{t}*e^{t-x}[/mm] und t>0. Untersuchen Sie
> die Funktionenschar und bestimmen Sie die Ortskurve der
> Wendepunkte.
> Ich hab hier leider noch so einige Aufgaben, bei denen ich
> - trotz mehrmaligem Versuch - nicht alle Teilaufgaben lösen
> könnte :(
>
> Das hier ist eine davon. Die Funktionsuntersuchung hab ich
> hinbekommen, aber mit der Ortskurve steh ich auf Kriegsfuß.
>
> Für die Wendepunkte hab ich herausgefunden: WP [mm](2/-\bruch{4}{t}*e^{t-2})[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") alles richtig
> Bei anderen Aufgaben hatte ich bei dem x-Wert des
> Wendepunkts immer noch ne Unbekannte. nach der hab ich dann
> aufgelöst, das Ergebnis ist den y-Wert des Wendepunkts
> eingesetzt und dann hatte ich die Ortskurve. Aber hier? Wie
> soll ich denn hier die Ortskurve angeben?
x(t)=2
[mm] y(t)=-\bruch{4}{t}*e^{t-2}
[/mm]
Wie man sieht, hängt die x-Koordinate nicht von t ab.
Das heißt alle Wendepunkte liegen auf der Geraden x=2.
Jetzt können wir uns noch die y-Koordinaten anschauen.
Vor allem würde mich interessieren ob es Grenzen für y gibt.
Das heißt, ist die Ortskurve gleich der Geraden x=2 oder ist es nur ein
Teil dieser Geraden, zum Beispiel eine Halbgerade oder eine Strecke.
[mm]\lim_{t \to \infty}y(t)=?[/mm]
[mm]\lim_{t \to -\infty}y(t)=?[/mm]
Kannst du diese Grenzwerte bestimmen?
Viele Grüße,
Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Fr 02.05.2008 | | Autor: | kati93 |
Also ich würde sagen dass bei beidem der Grenzwert 0 ist. Denn je größer t wird, desto mehr geht [mm] \bruch{-4}{t} [/mm] gegen 0.
Und wenn t gegen [mm] -\infty [/mm] geht, geht sowohl der Bruch gegen null, als auch [mm] e^{t-2}. [/mm]
Aber was verrät mir das? Bestätigt das, dass die Ortskurve die Gerade x=2 ist? Oder das Gegenteil? Mir ist nicht ganz klar, warum der y-Wert an dieser Stelle interessant ist. Weil solange die Wendepunkte 2 als x-Wert haben müsste doch das als Bestätigung für x=2 reichen,oder? Wie würde es sich denn äußern, wenn x=2 nicht komplett die Ortskurve wäre, sondern nur ein Teil?
Vielen lieben Dank für deine Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Fr 02.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Kati
> Also ich würde sagen dass bei beidem der Grenzwert 0 ist.
> Denn je größer t wird, desto mehr geht [mm]\bruch{-4}{t}[/mm] gegen
> 0.
> Und wenn t gegen [mm]-\infty[/mm] geht, geht sowohl der Bruch gegen
> null, als auch [mm]e^{t-2}.[/mm]
>
> Aber was verrät mir das? Bestätigt das, dass die Ortskurve
> die Gerade x=2 ist? Oder das Gegenteil? Mir ist nicht ganz
> klar, warum der y-Wert an dieser Stelle interessant ist.
> Weil solange die Wendepunkte 2 als x-Wert haben müsste doch
> das als Bestätigung für x=2 reichen,oder? Wie würde es sich
> denn äußern, wenn x=2 nicht komplett die Ortskurve wäre,
> sondern nur ein Teil?
Also, dass alle Wendepunkte auf der Geraden x=2 liegen, ist ja klar. Interessant ist es jetzt noch, ob es ein t gibt, so dass die y-Koordinaten einen absoluten Hochpunkt/Tiefpunkt erreichen.
Dazu musst du jetzt mal das Grenzverhalten von der y-Koordinate der Wendepunkte bestimmen.
Die Funktion für die y-Koordinate der Wendepunkte ist ja [mm] y(t)=-\bruch{4}{t}*e^{t-2}
[/mm]
Und diese Funktion hat für t>0 einen absoluten Hochpunkt, und verläuft füt [mm] t\to0 [/mm] gegen [mm] -\infty, [/mm] und füt [mm] t\to\infty [/mm] auch gegen [mm] -\infty
[/mm]
(Skizze)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also gibt es ein t, dass die grösste y-Koordinate des Wendepunktes "ergibt", und dieses musst du jetzt noch berechnen.
Dazu suche mal den Hochpunkt von [mm] y(t)=-\bruch{4}{t}*e^{t-2}
[/mm]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Fr 02.05.2008 | | Autor: | kati93 |
Ahhh, okay, das hab ich jetzt verstanden. Ich bin auf den Hochpunkt (1 / [mm] -4*e^{-1}) [/mm] gekommen
Vielen Dank für deine Mühe!!!! Ihr seid alle super hier!!! Ich wüsst gar nicht was ich ohne eure ständige Hilfe machen sollte....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Fr 02.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ahhh, okay, das hab ich jetzt verstanden. Ich bin auf den
> Hochpunkt (1 / [mm]-4*e^{-1})[/mm] gekommen
Korrekt, aber nur die x-Koordinate ist hier interessant, das ist ja genau der Wert für t, der die y-Koordinate des Wendepunktes maximiert.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 Fr 02.05.2008 | | Autor: | kati93 |
Super! Danke schön :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Fr 02.05.2008 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie,dass die Funktion [mm] f_{k}(x)=\bruch{k*e^{-x}}{k+e^{-x}} [/mm] für kein k>0 Extremwerte besitzen und die Wendepunkte auf dem Graphen von h mit [mm] h(x)=0,5*e^{-x} [/mm] liegen. |
Ich hab das jetzt mal ins gleiche Diskussionsthema gestellt, da es vom Inhalt her ja ähnlich ist.
Das mit den Extrempunkten konnte ich zeigen, nur leider komm ich nicht auf h(x), es muss sich also ein bzw mehrere Fehler eingeschlichen haben.
Wär lieb wenn ihr mal drüber gucken könntet. Ich poste grad mal meine Zwischenergebnisse, weil die vermutlich schon falsch sind. Danach kann ich meine Rechnung ja ggf. ausführlich reinsetzen.
Ich hab die 2.Ableitung 0 gesetzt und kam auf den Wendepunkt: [mm] (-ln(2-k)/k-0,5k^2)
[/mm]
die x-Stelle hab ich dann nach k umgeformt: [mm] k=2-e^{-x} [/mm] und das dann in die y-Stelle eingesetzt und habe diese Ortskurve erhalten:
[mm] y=e^{-x}-0,5e^{-2x}
[/mm]
Ich hab nur leider meinen Fehler nicht finden können, habs auch mehrmals nochmal komplett gerechnet,komme aber immer wieder aufs Gleiche Ergebnis :(
Danke schön!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kati!
Wie lauten denn Deine ersten beiden Ableitungen? Ich habe für die Wendestelle erhalten: [mm] $x_w [/mm] \ = \ [mm] -\ln(k)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Fr 02.05.2008 | | Autor: | kati93 |
meine Ableitungen:
[mm] f'_{k}(x)=\bruch{-k^2*e^{-x}}{(k+e^{-x})^2}
[/mm]
[mm] f''_{k}(x)=\bruch{k^2*e^{-x}*(k+e^{-x}-2)}{(k+e^{-x})^3}
[/mm]
dann muss da aber ein Verständnisproblem bei mir sein,weil ich hab es mehrmals versucht und kam immer auf die Ableitungen, ich kann mir kaum vorstellen,dass sich ein Flüchtigkeitsfehler dauernd wiederholt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Fr 02.05.2008 | | Autor: | kati93 |
ok, wenigstens die erste stimmt :)
danke für die korrektur, dann setz ich mich nochmal an die zweite Ableitung und hoffentlich stimmt dann auf mein h(x)! Vielen lieben Dank!
Nachtrag: Hab meinen Fehler bei der 2.Ableitung schon gefunden! Hab beim Ableiten der Kettenregel unterm Bruch die innere Ableitung versemmelt. die innere ist ja [mm] -e^{-x}, [/mm] und ich hab nur mit -1 gerechnet
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier erhalte ich: [mm] $f_k''(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{k^2*e^{-x}*\left(k-e^{-x} \ \right)}{\left(k+e^{-x} \ \right)^3}$
[/mm]