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Ortslinien: Aufgabe 11
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 Sa 07.11.2009
Autor: Nils92

Aufgabe
Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x)= x* [mm] e^{x} [/mm] bzw. g(x)= x* [mm] e^{-x}. [/mm]
a) Ermitteln Sie die Gleichungen der Wendetangenten an die Graphen von f und g.

b) Was ergibt sich, wenn man die Gleichungen der Wendetangenten der Graphen f(index k) und g(index k) mit f(index k)(x)= [mm] x*e^{kx} [/mm] bzw. g(index k)(x)= [mm] x*e^{-kx}, [/mm] k [mm] \not= [/mm] 0 berechnet und miteinander vergleicht?

c) Zeigen Sie, dass die Wendepunkte von f(index k) bzw. g(index k) auf einer Geraden liegen. Was lässt sich über die Lage der Extrempunkte sagen?

So erst mal zu Aufgabe a):

-Die Gleichungen der Wendetangenten ist gesucht --> 2. Ableitung bilden

f(x) = x* [mm] e^{x}, [/mm]  1. Ableitung = [mm] e^{x} [/mm] * x + [mm] e^{x} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] * (x+1),

2. Ableitung [mm] =e^{x} [/mm] * (2+x)

Dann die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen:

0= [mm] e^{x} [/mm] * (2+x)     [mm] |:e^{x} [/mm]
0= 2+x                    | -2
-2 = x(index w)

In die Ausgangsfunktion einsetzen:

f(x(index w))= -2 * [mm] e^{-2} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{e^{2}} [/mm]

Ist das so alles richtig? Dann müsste das jetzt die Ortslinie aller Wendepunkte von f(x) sein.

Danke im vorraus



        
Bezug
Ortslinien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 Sa 07.11.2009
Autor: MathePower

Hallo Nils92,

> Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x)= x* [mm]e^{x}[/mm] bzw.
> g(x)= x* [mm]e^{-x}.[/mm]
>  a) Ermitteln Sie die Gleichungen der Wendetangenten an die
> Graphen von f und g.
>  
> b) Was ergibt sich, wenn man die Gleichungen der
> Wendetangenten der Graphen f(index k) und g(index k) mit
> f(index k)(x)= [mm]x*e^{kx}[/mm] bzw. g(index k)(x)= [mm]x*e^{-kx},[/mm] k
> [mm]\not=[/mm] 0 berechnet und miteinander vergleicht?
>  
> c) Zeigen Sie, dass die Wendepunkte von f(index k) bzw.
> g(index k) auf einer Geraden liegen. Was lässt sich über
> die Lage der Extrempunkte sagen?
>  
> So erst mal zu Aufgabe a):
>  
> -Die Gleichungen der Wendetangenten ist gesucht --> 2.
> Ableitung bilden
>  
> f(x) = x* [mm]e^{x},[/mm]  1. Ableitung = [mm]e^{x}[/mm] * x + [mm]e^{x}[/mm] = [mm]e^{x}[/mm]
> * (x+1),
>  
> 2. Ableitung [mm]=e^{x}[/mm] * (2+x)


[ok]


>  
> Dann die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen:
>  
> 0= [mm]e^{x}[/mm] * (2+x)     [mm]|:e^{x}[/mm]
>  0= 2+x                    | -2
>  -2 = x(index w)


[ok]


>  
> In die Ausgangsfunktion einsetzen:
>  
> f(x(index w))= -2 * [mm]e^{-2}[/mm] = [mm]\bruch{-2}{e^{2}}[/mm]
>  
> Ist das so alles richtig? Dann müsste das jetzt die
> Ortslinie aller Wendepunkte von f(x) sein.


Hier soll die Gleichung der Wendetangente ermittelt werden.

Demnach eine Gleichung der Bauart [mm]y=a*x+b[/mm].


> Danke im vorraus
>  

>


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Ortslinien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:02 So 08.11.2009
Autor: Nils92


> Demnach eine Gleichung der Bauart [mm]y=a*x+b[/mm].
>  
>
> > Danke im vorraus
>  >  
> >
>  
>
> Gruss
>  MathePower


aber das Ergebnis f(x(index w))= -2 * $ [mm] e^{-2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-2}{e^{2}} [/mm] $

entspricht doch der Bauart [mm]y=a*x+b[/mm]:

In diesem Fall ist a halt 0 und deshalb ist [mm] c=\bruch{-2}{e^{2}} [/mm]

Ist doch so oder?

Bezug
                        
Bezug
Ortslinien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 So 08.11.2009
Autor: Steffi21

Hallo,

laut 2. Ableitung liegt an der Stelle x=-2 der Wendepunkt

die Tangente hat die Form y=m*x+n

den Anstieg m bekommst du aus [mm] f'(-2)=-e^{-2} [/mm]

jetzt ist f(-2) zu berechnen [mm] f(-2)=-2*e^{-2} [/mm]

der Punkt [mm] (-2;-2*e^{-2}) [/mm] gehört auch zu deiner Tangente

jetzt in die Gleichung y=m*x+n einsetzen und n berechnen

[mm] -2*e^{-2}=(-e^{-2})*(-2)+n [/mm]

Steffi

Bezug
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