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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Do 28.09.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Bestimme dei Partialbruchzerlegung von
[mm] \frac{x^2+3x}{x^2+2x+1} [/mm] |
Hallo Leute,
hab wohl gerade einen aussetzer, aber ich kann mir nicht diesen Schritt erklären.
Möchte das aber such nicht so einfach hinnehm.
Bitte sagt mir wie das folgende zustande kommt
ICh hab hier nen Vorschlag von nen Kollegen
also PBZ ist ja eigentlich nicht so schwer
1. Nst. bestimmen [mm] x_{1,2}=-1
[/mm]
der hat jetzt
[mm] \frac{x^2+3x}{x^2+2x+1}= [/mm] $ [mm] \frac{x^2+2x+1+x-1}{x^2+2x+1}=1+\frac{x-1}{(x+1)^2} [/mm] $ [mm] =1+\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+1)^2}
[/mm]
Ich verstehe diese Erweiterung oder Umformung nicht.
Hat doch bestimmt jemand eine simple Erläuterung für die sache.
Ich hätte das nämlich so gemacht
[mm] \frac{x^2+3x}{(x+1)^2}=\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+1)^2}
[/mm]
da kommen auch andere Ergebnisse raus, wobei das obere richtig ist.
naja ich danke schonmal für eure Hilfe gruß hooover
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Do 28.09.2006 | | Autor: | ullim |
Hi hoover,
wenn Du es so machen würdest wie Du geschrieben hast, müsstes Du den ersten Term nur mit (x+1) erweitern und schon hätte man den Hauptnenner und Du könntest die rechte Seite zusammenfassen. Allerdings stände dann im Zähler nur ein Polynom 1. Grades, es müsste aber dort ein Polynom 2. Grades stehen um Gleichheit herstellen zu können.
Also kann Dein Anstz nicht richtig sein.
Im Allgemeinen gilt die Partialbruchzerlegung nur für echt gebrochene rationale Funktionen, d.h. der Grad des Zähler Polynoms muss kleiner sein als der Grad des Nenner Polynoms.
Ich hoffe ich konnte Die helfen
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Do 28.09.2006 | | Autor: | hooover |
Ja vielen Dank,
ich wußte aber schon das mein Ansatz falsch ist, hab ich auch geschrieben. Und
Nennergrad [mm] \ge [/mm] Zählergrad oder?
Meine eigentlich Frage war ja wie man von den Ausdruck
[mm] \frac{x^2+3x}{x^2+2x+1}
[/mm]
auf diesen kommt
[mm] \frac{x^2+2x+1+x-1}{x^2+2x+1}=1+\frac{x-1}{(x+1)^2}
[/mm]
Wie wurde hier umgeformt?
Vielen Dank Gruß hooover
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Do 28.09.2006 | | Autor: | Walty |
> [mm]\frac{x^2+3x}{x^2+2x+1}[/mm]
>
> auf diesen kommt
>
> [mm]\frac{x^2+2x+1+x-1}{x^2+2x+1}=1+\frac{x-1}{(x+1)^2}[/mm]
>
ganz Einfach
Du hast das Polynom im Nenner: [mm]{x^2+2x+1}[/mm]
wenn Du nun das Zählerpolynom nimmst: [mm]x^2+3x[/mm]
und es einfach mal anders hinschreibst: und die Summanden etwas vertauscht....
[mm]x^2+3x=x^2+\underbrace{2x+x}_{=3x}= x^2+2x+x+\underbrace{1-1}_{=0}=x^2+2x+1+x-1=(x^2+2x+1)+(x-1)[/mm]
(beachte, dass das Gleichheitszeichen die ganze Zeit uneingeschränkt gilt!)
dann kannst du den zusammengesetzten Bruch wie
[mm]\bruch{6+5}{6}=\bruch{6}{6}+\bruch{5}{6}=1+\bruch{5}{6}[/mm]
auseinanderziehen
hth Walty
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