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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Do 30.08.2007 | | Autor: | anna_h |
| Aufgabe | | Führen Sie für [mm] f(x)=\bruch{(a+b)x+a^{2}+b^{2}}{x^2+ax+bx+ab} [/mm] eine Partialbruchzerlegung durch. Welche Fälle sind zu unterscheiden? Berechnen Sie dann das Integral. |
Hallo,
Ich habe mal einen Ansatz gemacht. Bin aber mit Sicherheit falsch. Weiß auch nicht welche Fälle ich unterscheiden muss ( Nenner nicht Null ist klar).
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Mo 03.09.2007 | | Autor: | anna_h |
[mm] x^{2}+ax+bx+ab
[/mm]
[mm] =x^{2}+(a+b)x+ab
[/mm]
[mm] x_{1,2}=\bruch{a+b}{2} \pm \wurzel{(\bruch{a+b}{2})^{2}-ab}
[/mm]
[mm] x_{1,2}=\bruch{a+b}{2} \pm \wurzel{\bruch{a^{2}+2ab+b^{2}-4ab}{4}}
[/mm]
und wie geht es dann weiter? ich kann 2ab und -4ab zusammenfassen. Aber dann ?????????????
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>> Partialbruchzerlegung für $ [mm] f(x)=\bruch{(a+b)x+a^{2}+b^{2}}{x^2+ax+bx+ab} [/mm] $
Hallo,
ich möchte die Rechnerei zunächst einmal zurückstellen.
Hast Du Dich mit dem ![[]](/images/popup.gif) Ansatz für die Partialbruchzerlegung beschäftigt?
Es kommt ja darauf an, daß man das Nennerpolynom geeignet zerlegt.
Eine wichtige Rolle spielen hier die Nullstellen, denn nach Möglichkeit möchte man Linearfaktoren abspalten.
Das Nennerpolynom [mm] x^2+ax+bx+ab [/mm] ist ein Polynom zweiten Grades.
Bei Polynomen zweiten Grades können prinzipiell drei Fälle auftreten:
A. Eine zweifache Nullstelle.
B. Zwei verschiedene Nullstellen
C. Keine Nullstelle
Diese drei Fälle solltest Du nun untersuchen. Finde zunächst heraus, für welche Bedingungen an a,b der jeweilige Fall auftritt.
Danach machst Du dann jeweils Deine Partialbruchzerlegung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Mo 10.09.2007 | | Autor: | anna_h |
Wenn der Ausdruck in der Wurzel der pq-formel 0 ist gibt es eine Lösung. Wenn der Ausdruck ungleich Null ist gibt es zwei Lösungen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mo 10.09.2007 | | Autor: | anna_h |
Dann wird die ganze Sache komplex??????????
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> Dann wird die ganze Sache komplex??????????
Dann gibt es für das quadratische Polynom keine reellen Nullstellen. (in der Tat gibt's dann komplexe, aber die können wir für die Aufgabe nicht gebrauchen.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:56 Mi 12.09.2007 | | Autor: | anna_h |
Also habe ich ja
[mm] x_{1,2}=-\bruch{a+b}{2} \pm \wurzel{\bruch{a²-2ab+b²}{4}}
[/mm]
richtig?
Die Wurzel wird Null wenn a=b=1 ist. wenn a und b größer 0 dann ist der Term in der Wurzel positiv.
richtig?
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> Also habe ich ja
>
> [mm]x_{1,2}=-\bruch{a+b}{2} \pm \wurzel{\bruch{a²-2ab+b²}{4}}[/mm]
>
> richtig?
> Die Wurzel wird Null wenn a=b=1 ist. wenn a und b größer 0
> dann ist der Term in der Wurzel positiv.
> richtig?
Hallo,
nein , das ist nicht richtig, oder besser gesagt: nur ein Bruchteil der Wahrheit.
Die Wurzel wird in sehr viel mehr Fällen als für a=b=1 Null.
Ebenso solltest Du die zweite Aussage nochmal prüfen.
Erkennst Du eigentlich, daß Du unter der Wurzel eine binomische Formel hast?
Deine Rechnereien sind übrigens ziemlich überflüssig - wenn auch nicht falsch: zu untersuchen ist doch [mm] x^2+ax+bx+ab=(x+a)(x+b).
[/mm]
An dieser Stelle weise ich nochmal auf mein Post von neulich hin, wenn man Obiges dastehen hat, ist man nämlich ratzfatz beim Wesentlichen. Es geht doch um PBZ.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 16.09.2007 | | Autor: | anna_h |
Dann ist der Ansatz [mm] \bruch{A}{x+a}+\bruch{B}{x+b}?
[/mm]
Dann einfach Koeffizientenvergleich. Oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 So 16.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Mi 19.09.2007 | | Autor: | anna_h |
Habe die ganze Sache mal durchgerechnet:
wenn A=a und B=b ist geht die Sache auf. Stimmt doch oder?
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> Habe die ganze Sache mal durchgerechnet:
> wenn A=a und B=b ist geht die Sache auf. Stimmt doch oder?
Hallo,
diese Frage kannst Du Dir doch leicht selber beantworten:
ergibt [mm] \bruch{a}{x+a}+\bruch{b}{x+b} [/mm] das Gewünschte? Rechne es aus und vergleiche.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Kleiner Tipp am Rande: Deine Lösung stimmt so nicht ganz, aber Du bist nah' dran. 
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Mi 19.09.2007 | | Autor: | anna_h |
Irgendwie bin ich total verwirrt.
Ich habe:
[mm] \bruch{A}{x+a}+\bruch{B}{x+b} [/mm] so wenn ich das erweitere habe ich A*(x+b)+B*(x+a) ausmultipliziert Ax+Ab+Ba+Bx.
Jetzt muss ich doch setzen Ax+Ab+Ba+Bx=(a+b)x+a²+b² ; oder nicht?
Und das ist wenn A=a und B=b ?
Oder habe ich einen grundsätzlichen Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Mi 19.09.2007 | | Autor: | anna_h |
oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Dein Ansatz ist völlig richtig, aber nicht die Lösung. Setze Deine Werte doch mal ein, was erhältst Du?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mi 19.09.2007 | | Autor: | anna_h |
peinlich
A=b und B=a;
und das dann eingesetzt
[mm] \bruch{b}{x+a}+\bruch{a}{x+b}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Nun ist es richtig rum und korrekt!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Mi 19.09.2007 | | Autor: | anna_h |
Aber was ich nicht verstehe ist wenn ich mein Ergebniss ausmultipliziere erhalte ich ja nur den ursprünglichen Zähler; wo ist der Nenner?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Wenn Du auf den Hauptnenner erweitert hast, steht doch da:
[mm] $$\bruch{b}{x+a}+\bruch{a}{x+b} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{b*(x+b)+a*(x+a)}{\red{(x+a)*(x+b)}}$$
[/mm]
Nun also auch im Nenner ausmultiplizieren ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mi 19.09.2007 | | Autor: | anna_h |
Dein Ergebnis leuchtet mir nur bedingt ein.
Ich habe [mm] \bruch{b}{x+a}+\bruch{a}{x+b} [/mm] wenn ich mit x+a multipliziere habe ich b + [mm] \bruch{a*(x+a)}{x+b} [/mm] mal x+b
bekomme ich b*(b+x)+a*(a+x). Ich hoffe damit mache ich mich nicht hächerlich 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Der Hauptnenner der beiden Brüche [mm] $\bruch{b}{x+a}$ [/mm] bzw. [mm] $\bruch{a}{x+b}$ [/mm] lautet: $(x+a)*(x+b)_$ .
Um hier beide Brüche auf diesen Hauptnenner zu bringen, werden die Brüche entsprechend erweitert (und nicht nur einfach multipliziert):
[mm] $$\bruch{b}{x+a}+\bruch{a}{x+b} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{b}{x+a}*\blue{\bruch{x+b}{x+b}}+\bruch{a}{x+b}*\red{\bruch{x+a}{x+a}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{b*(x+b)}{(x+a)*(x+b)}+\bruch{a*(x+a)}{(x+b)*(x+a)} [/mm] \ = \ ...$$
Nun sind beide Brüche gleichnamig und dürfen daher auch auf einem Bruchstrich zusammengefasst werden:
$$... \ = \ [mm] \bruch{b*(x+b)+a*(x+a)}{(x+a)*(x+b)} [/mm] \ = \ ...$$
Weiter mit ausmultiplizieren ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 Mi 19.09.2007 | | Autor: | anna_h |
Alles klar. Vielen Dank.
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
p/q-Formel![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Richtig bzw. zwei gleiche Lösungen.
